المتوسط المرجح في اختبار القدرات: القوانين والأمثلة وطريقة الحل
المتوسط المرجح في اختبار القدرات: القوانين والأمثلة وطريقة الحل
يعد المتوسط المرجح في اختبار القدرات من الموضوعات التي تعتمد على فهم فكرة الأوزان وتأثير كل قيمة في النتيجة النهائية. وقد تظهر هذه الفكرة في مسائل الدرجات، والأسعار، والكميات، والتقييمات، أو عندما تكون بعض القيم أكثر تكرارًا أو أهمية من غيرها.
سبق أن تعرفنا على المتوسط الحسابي وطريقة حسابه، لكن المتوسط المرجح يختلف عنه في نقطة أساسية: القيم لا تكون بالضرورة متساوية في التأثير.
في هذا المقال سنشرح مفهوم المتوسط المرجح، والقانون الأساسي، والفرق بينه وبين المتوسط الحسابي، وكيفية استخدام التكرارات والأوزان، مع مجموعة من الأمثلة المحلولة وطرق تساعدك على حل أسئلة القدرات بسرعة.
ما هو المتوسط المرجح؟
المتوسط المرجح هو متوسط يعطي كل قيمة وزنًا معينًا بحسب أهميتها أو عدد مرات تكرارها.
فإذا كانت لدينا قيمتان، وكانت الأولى وزنها أكبر من الثانية، فإن الأولى سيكون لها تأثير أكبر على المتوسط النهائي.
أما في المتوسط الحسابي العادي، فإن كل قيمة لها التأثير نفسه.
قانون المتوسط المرجح
القانون الأساسي هو:
المتوسط المرجح = مجموع (القيمة × وزنها) ÷ مجموع الأوزان
وبصيغة رياضية:
المتوسط المرجح = (س₁×و₁ + س₂×و₂ + س₃×و₃ + ...) ÷ (و₁ + و₂ + و₃ + ...)
حيث:
- س تمثل القيمة.
- و تمثل الوزن.
لماذا نستخدم المتوسط المرجح؟
إذا كانت جميع القيم لها الأهمية نفسها، فإن المتوسط الحسابي يكون مناسبًا.
لكن إذا كانت إحدى القيم تمثل نسبة أكبر من النتيجة، فلا يصح التعامل مع جميع القيم بالطريقة نفسها.
مثلاً، إذا كانت درجة اختبار تمثل 70% من التقييم النهائي، ودرجة أخرى تمثل 30%، فلا يمكن حساب المتوسط بجمع الدرجتين والقسمة على 2، لأن الوزنين مختلفان.
مثال 1: متوسط بدرجات متساوية
قبل الانتقال إلى المتوسط المرجح، لنفترض أن طالبًا حصل على الدرجات التالية:
- 70
- 80
- 90
المتوسط الحسابي:
(70 + 80 + 90) ÷ 3 = 80
هنا كل درجة لها الوزن نفسه.
مثال 2: عندما تختلف الأوزان
السؤال: حصل طالب على 80 في اختبار وزنه 40%، وعلى 90 في اختبار وزنه 60%. فما متوسطه المرجح؟
الحل
نضرب كل درجة في وزنها:
80 × 0.40 = 32
90 × 0.60 = 54
ثم نجمع:
32 + 54 = 86
الإجابة: 86.
استخدام الأوزان كنسب مئوية
عندما تكون الأوزان معطاة على شكل نسب مئوية، يجب تحويلها إلى أعداد عشرية أو استخدام النسبة مباشرة بطريقة صحيحة.
مثلًا:
- 20% = 0.20
- 30% = 0.30
- 50% = 0.50
ويجب أن يكون مجموع الأوزان:
100%
أو:
1
مثال 3: ثلاثة اختبارات بأوزان مختلفة
السؤال: حصل طالب على 70 في اختبار وزنه 20%، و80 في اختبار وزنه 30%، و90 في اختبار وزنه 50%. فما المتوسط المرجح؟
الحل
نحسب مساهمة كل اختبار:
70 × 0.20 = 14
80 × 0.30 = 24
90 × 0.50 = 45
نجمع:
14 + 24 + 45 = 83
الإجابة: 83.
طريقة أسرع باستخدام النسب
يمكن في بعض الأسئلة تجنب تحويل النسب إلى أعداد عشرية.
في المثال السابق:
(70×20 + 80×30 + 90×50) ÷ 100
ثم:
(1400 + 2400 + 4500) ÷ 100 = 8300 ÷ 100 = 83
اختر الطريقة التي تقلل احتمال الخطأ وتناسب الأرقام الموجودة في السؤال.
المتوسط المرجح والتكرار
يمكن أن يكون الوزن عبارة عن عدد مرات تكرار القيمة.
مثلًا إذا كانت الدرجة 10 ظهرت مرتين، والدرجة 20 ظهرت ثلاث مرات، فإن:
- الدرجة 10 وزنها 2.
- الدرجة 20 وزنها 3.
وبذلك يمكن حساب المتوسط باستخدام التكرارات بدل كتابة كل قيمة مرة أخرى.
مثال 4: المتوسط باستخدام التكرار
السؤال: ظهرت القيمة 5 أربع مرات، والقيمة 10 مرتين. فما المتوسط؟
الحل
نحسب مجموع القيم:
5 × 4 = 20
10 × 2 = 20
إذن مجموع القيم:
20 + 20 = 40
مجموع التكرارات:
4 + 2 = 6
المتوسط:
40 ÷ 6 = 20/3
أي حوالي:
6.67
لماذا لا نستخدم المتوسط العادي هنا؟
لو أخذنا متوسط العددين 5 و10 مباشرة:
(5 + 10) ÷ 2 = 7.5
سنحصل على نتيجة مختلفة.
والسبب أن 5 تكررت أربع مرات بينما 10 تكررت مرتين، لذلك لا يمكن اعتبارهما متساويتين في الوزن.
مثال 5: درجات مع تكرارات مختلفة
السؤال: حصل ثلاثة طلاب على الدرجة 60، وحصل طالبان على الدرجة 80، وحصل طالب واحد على الدرجة 100. فما متوسط الدرجات؟
الحل
مجموع الدرجات:
60 × 3 = 180
80 × 2 = 160
100 × 1 = 100
إذن:
180 + 160 + 100 = 440
عدد الطلاب:
3 + 2 + 1 = 6
المتوسط:
440 ÷ 6 = 73.33 تقريبًا
الإجابة: حوالي 73.33.
المتوسط المرجح والأسعار
يمكن استخدام المتوسط المرجح عندما نشتري كميات مختلفة من المنتج نفسه بأسعار مختلفة.
إذا اشترى شخص كمية كبيرة بسعر معين وكمية صغيرة بسعر آخر، فإن متوسط السعر لا يساوي بالضرورة المتوسط الحسابي للسعرين.
مثال 6: متوسط سعر الشراء
السؤال: اشترى شخص 2 كيلوغرام من منتج بسعر 10 ريالات للكيلوغرام، واشترى 6 كيلوغرامات بسعر 14 ريالًا للكيلوغرام. فما متوسط السعر لكل كيلوغرام؟
الحل
تكلفة الكمية الأولى:
2 × 10 = 20
تكلفة الكمية الثانية:
6 × 14 = 84
إجمالي التكلفة:
20 + 84 = 104
إجمالي الكمية:
2 + 6 = 8 كيلوغرامات
متوسط السعر:
104 ÷ 8 = 13 ريالًا
الإجابة: 13 ريالًا للكيلوغرام.
خطأ شائع في متوسط الأسعار
قد يحاول الطالب حساب:
(10 + 14) ÷ 2 = 12
لكن هذه الإجابة غير صحيحة لأن الكميات مختلفة.
تم شراء 6 كيلوغرامات بسعر 14، بينما تم شراء كيلوغرامين فقط بسعر 10، لذلك يجب أن يكون للسعر الأول وزن مختلف عن السعر الثاني.
المتوسط المرجح والدرجات النهائية
قد تأتي مسائل القدرات على صورة تقييم نهائي يتكون من عدة أجزاء، لكل جزء نسبة معينة.
مثلًا:
- الاختبار الأول: 30%
- الاختبار الثاني: 20%
- المشروع: 50%
إذا كانت الدرجات:
- 70
- 80
- 90
فإن الدرجة النهائية:
70×0.30 + 80×0.20 + 90×0.50
= 21 + 16 + 45
= 82
مثال 7: حساب نتيجة نهائية
السؤال: حصل طالب على 75 في الجزء الأول الذي يمثل 25%، وعلى 85 في الجزء الثاني الذي يمثل 35%، وعلى 90 في الجزء الثالث الذي يمثل 40%. فما النتيجة النهائية؟
الحل
الجزء الأول:
75 × 0.25 = 18.75
الجزء الثاني:
85 × 0.35 = 29.75
الجزء الثالث:
90 × 0.40 = 36
المجموع:
18.75 + 29.75 + 36 = 84.5
الإجابة: 84.5.
كيف تعرف أن السؤال يحتاج متوسطًا مرجحًا؟
ابحث عن كلمات أو معلومات تشير إلى وجود أوزان مختلفة، مثل:
- يمثل 20% من الدرجة.
- وزنه 30%.
- عدد الطلاب.
- تكرر العدد عدة مرات.
- تم شراء كميات مختلفة.
- لكل مجموعة عدد مختلف.
- الجزء الأول أهم من الجزء الثاني.
وجود هذه المعلومات يعني غالبًا أن المتوسط العادي لن يكون كافيًا.
الفرق بين المتوسط الحسابي والمتوسط المرجح
المتوسط الحسابي
نجمع القيم ثم نقسم على عددها.
المتوسط = مجموع القيم ÷ عدد القيم
المتوسط المرجح
نضرب كل قيمة في وزنها، ثم نجمع النواتج ونقسم على مجموع الأوزان.
المتوسط المرجح = مجموع القيمة × الوزن ÷ مجموع الأوزان
مثال 8: مقارنة الطريقتين
لدينا القيمتان 50 و90.
إذا كانتا متساويتين في الوزن:
(50 + 90) ÷ 2 = 70
أما إذا كانت أوزانهما 1 و3:
(50×1 + 90×3) ÷ 4
= (50 + 270) ÷ 4
= 320 ÷ 4 = 80
نلاحظ أن المتوسط ارتفع باتجاه القيمة 90 لأنها تمتلك وزنًا أكبر.
قاعدة مهمة لفهم المتوسط المرجح
المتوسط المرجح يكون عادة بين أصغر قيمة وأكبر قيمة عندما تكون الأوزان موجبة.
إذا كانت القيم:
40، 60، 80
وكانت الأوزان موجبة، فلا يمكن أن يكون المتوسط المرجح أقل من 40 أو أكبر من 80.
هذه الملاحظة مفيدة لمراجعة الإجابة واكتشاف الأخطاء بسرعة.
مثال 9: اكتشاف الإجابة غير المنطقية
إذا كانت جميع الدرجات بين 60 و90، وظهرت نتيجة نهائية تساوي 105، فمن الواضح أن هناك خطأ في الحساب.
السبب أن المتوسط المرجح للأوزان الموجبة يجب أن يقع بين أصغر وأكبر قيمة.
إيجاد قيمة مجهولة باستخدام المتوسط المرجح
قد يطلب السؤال معرفة قيمة مجهولة بدل حساب المتوسط فقط.
في هذه الحالة نستخدم قانون المتوسط المرجح ثم نحل المعادلة.
مثال 10: إيجاد درجة مجهولة
السؤال: حصل طالب على 70 في اختبار يمثل 40%، وحصل على درجة س في اختبار يمثل 60%. إذا كان المتوسط النهائي 82، فما قيمة س؟
الحل
نكتب العلاقة:
70×0.40 + س×0.60 = 82
نحسب الجزء الأول:
28 + 0.60س = 82
إذن:
0.60س = 54
س = 90
الإجابة: 90.
إيجاد وزن مجهول
يمكن أيضًا أن يأتي السؤال بالعكس، بحيث تكون القيم والمتوسط معروفين ويطلب منك إيجاد الوزن.
مثال 11: وزن مجهول
السؤال: درجتان هما 60 و90، وكان المتوسط المرجح 78. إذا كان وزن الدرجة الأولى 40%، فما وزن الدرجة الثانية؟
الحل
بما أن مجموع الأوزان يساوي 100%، فإن وزن الدرجة الثانية:
100% − 40% = 60%
وبالتحقق:
60×0.40 + 90×0.60
= 24 + 54 = 78
الإجابة: 60%.
طريقة الوحدات في المتوسط المرجح
إذا كانت الأوزان معطاة بنسب مثل 20% و30% و50%، يمكن اعتبارها ببساطة 20 و30 و50، ثم القسمة على مجموعها.
مثلًا:
(60×20 + 70×30 + 80×50) ÷ 100
وهذا يعطي النتيجة نفسها التي نحصل عليها باستخدام 0.20 و0.30 و0.50.
متى تكون هذه الطريقة أسرع؟
تكون مفيدة عندما تكون جميع الأوزان نسبًا مئوية ويكون مجموعها 100، لأنها تقلل التعامل مع الأعداد العشرية.
المتوسط المرجح والتكرارات في الجداول
إذا أعطاك السؤال جدولًا يحتوي على قيمة وتكرارها، فالتكرار يمثل الوزن.
يمكن تنظيم الحل بالشكل التالي:
- القيمة × التكرار.
- اجمع النواتج.
- اجمع التكرارات.
- اقسم مجموع حاصل الضرب على مجموع التكرارات.
مثال 12: جدول تكراري
إذا كانت القيم وتكراراتها:
- القيمة 2، التكرار 3
- القيمة 5، التكرار 4
- القيمة 8، التكرار 2
نحسب:
2×3 = 6
5×4 = 20
8×2 = 16
مجموع حاصل الضرب:
6 + 20 + 16 = 42
مجموع التكرارات:
3 + 4 + 2 = 9
المتوسط:
42 ÷ 9 = 14/3
أي حوالي:
4.67
أخطاء شائعة في المتوسط المرجح
1. استخدام المتوسط الحسابي بدل المرجح
إذا كانت الأوزان مختلفة، فلا تجمع القيم وتقسم على عددها مباشرة.
2. نسيان ضرب القيمة في وزنها
الوزن يجب أن يدخل في الحساب قبل جمع النتائج.
3. القسمة على عدد القيم بدل مجموع الأوزان
في المتوسط المرجح المقام هو مجموع الأوزان، وليس بالضرورة عدد القيم.
4. تجاهل التكرار
إذا كانت قيمة ما تتكرر عدة مرات، فإن التكرار يؤثر في المتوسط ويجب استخدامه كوزن.
5. الخطأ في تحويل النسبة المئوية
مثل تحويل 25% إلى 25 بدل 0.25 عند استخدام الأوزان العشرية، دون الانتباه إلى طريقة الحساب.
طريقة سريعة لحل أسئلة المتوسط المرجح
- حدد القيم الموجودة في السؤال.
- حدد وزن كل قيمة أو عدد مرات تكرارها.
- اضرب كل قيمة في وزنها.
- اجمع حاصل الضرب.
- اجمع الأوزان.
- اقسم مجموع حاصل الضرب على مجموع الأوزان.
- تحقق من أن الإجابة تقع ضمن نطاق القيم عند استخدام أوزان موجبة.
تدريب على المتوسط المرجح
بعد فهم القانون، حاول حل مسائل مختلفة حتى تتعود على التمييز بين المتوسط الحسابي والمتوسط المرجح.
يمكنك تطبيق مهاراتك على أسئلة كمي متنوعة والتدرب على نماذج تجمع أكثر من فكرة رياضية، لأن بعض أسئلة القدرات قد تدمج المتوسط مع النسب أو التكرار أو النسبة المئوية.
خطة تدريب مختصرة
المرحلة الأولى: الفهم
راجع الفرق بين المتوسط الحسابي والمتوسط المرجح، وتأكد من فهم معنى الوزن.
المرحلة الثانية: النسب
حل مسائل تستخدم أوزانًا مثل 20% و30% و50%.
المرحلة الثالثة: التكرارات
تدرب على الجداول التي تحتوي على قيم وتكرارات.
المرحلة الرابعة: المجهول
انتقل إلى الأسئلة التي تطلب إيجاد قيمة أو وزن مجهول.
المرحلة الخامسة: السرعة
حل مسائل متنوعة بزمن محدد، وحاول اختيار أقصر طريقة صحيحة للحساب.
مثال تدريبي شامل
السؤال: حصل طالب على 65 في اختبار وزنه 20%، و75 في اختبار وزنه 30%، ودرجة مجهولة س في اختبار وزنه 50%. إذا كان المتوسط المرجح 80، فما قيمة س؟
الحل
نكتب المعادلة:
65×0.20 + 75×0.30 + س×0.50 = 80
نحسب القيم المعروفة:
65×0.20 = 13
75×0.30 = 22.5
إذن:
13 + 22.5 + 0.50س = 80
35.5 + 0.50س = 80
0.50س = 44.5
س = 89
الإجابة: 89.
كيف تتحقق من إجابتك بسرعة؟
إذا كانت الأوزان موجبة، فإن المتوسط المرجح يجب أن يكون بين أصغر قيمة وأكبر قيمة.
في المثال السابق كانت القيم 65 و75 و89، والمتوسط 80، وبالتالي النتيجة منطقية لأنها تقع بين 65 و89.
هذه المراجعة السريعة مفيدة جدًا في اختبار القدرات، لأنها قد تكشف خطأ حسابيًا قبل الانتقال إلى السؤال التالي.
أسئلة شائعة عن المتوسط المرجح في اختبار القدرات
ما الفرق الأساسي بين المتوسط الحسابي والمتوسط المرجح؟
المتوسط الحسابي يعطي القيم أوزانًا متساوية، بينما المتوسط المرجح يسمح بأن يكون لبعض القيم تأثير أكبر بسبب اختلاف الأوزان أو التكرارات.
هل التكرار يعتبر وزنًا؟
نعم، في المسائل التي تتكرر فيها القيم، يمكن استخدام عدد مرات التكرار كوزن لكل قيمة.
هل مجموع الأوزان يجب أن يساوي 100%؟
عندما تكون الأوزان معطاة كنسب مئوية لتحديد النتيجة النهائية، يكون مجموعها عادة 100%. أما في مسائل الأوزان العامة، فيمكن أن تكون الأوزان أعدادًا أخرى، ويكون المقام هو مجموعها.
هل المتوسط المرجح يمكن أن يكون أكبر من أكبر قيمة؟
عند استخدام أوزان موجبة، لا يكون المتوسط المرجح أكبر من أكبر قيمة أو أصغر من أصغر قيمة.
هل يمكن استخدام المتوسط المرجح في الأسعار؟
نعم، خصوصًا عندما تختلف الكميات المشتراة بأسعار مختلفة، حيث تمثل الكمية وزن السعر.
ما أسرع طريقة لحل السؤال؟
حدد الوزن أولًا، ثم اضرب كل قيمة في وزنها، واجمع النواتج، ثم اقسم على مجموع الأوزان. وفي النسب المئوية التي مجموعها 100 يمكن استخدام الأرقام المئوية مباشرة.
الخلاصة
يعتمد المتوسط المرجح في اختبار القدرات على فكرة أساسية وهي أن بعض القيم قد يكون لها تأثير أكبر من غيرها. لذلك لا يكفي جمع القيم وقسمتها على عددها عندما تكون الأوزان أو التكرارات مختلفة.
احفظ القاعدة الأساسية:
المتوسط المرجح = مجموع (القيمة × الوزن) ÷ مجموع الأوزان.
وتذكر أن التكرار يمكن أن يعمل كوزن، وأن الكميات المختلفة في مسائل الأسعار تؤثر في المتوسط، وأن النسب المئوية يمكن استخدامها مباشرة عندما يكون مجموعها 100.
ومع التدريب على الأنواع المختلفة من الأسئلة، ستصبح قادرًا على معرفة متى تحتاج إلى المتوسط المرجح، واختيار الطريقة الأسرع للحساب، ومراجعة إجابتك باستخدام نطاق القيم قبل الانتقال إلى السؤال التالي.
لا يوجد تعليقات جديدة