المتباينات في اختبار القدرات: القواعد والأمثلة وطريقة الحل

تُعد المتباينات من موضوعات الجبر المهمة التي تساعد الطالب على فهم العلاقات بين الأعداد والقيم المختلفة. وفي القسم الكمي من اختبار القدرات قد تظهر أفكار المتباينات بصورة مباشرة، أو تدخل ضمن مسائل المقارنة والجبر وتحديد القيم الممكنة للمتغيرات.

المتباينة تشبه المعادلة من ناحية استخدام العمليات الحسابية على طرفيها، لكن الفرق الأساسي أنها لا تشترط تساوي الطرفين، وإنما تحدد أن أحد الطرفين أكبر من الآخر أو أصغر منه، أو أكبر منه أو مساويًا له.

في هذا المقال سنتعرف على رموز المتباينات، والفرق بينها وبين المعادلات، وقواعد حل المتباينات، ومتى تنعكس الإشارة، مع أمثلة محلولة وأسئلة تدريبية تساعدك على التعامل مع هذا النوع من المسائل بسرعة.

طبّق مهاراتك الجبرية في نماذج القسم الكمي واختبارات القدرات

ما هي المتباينة؟

المتباينة هي عبارة رياضية توضح علاقة بين قيمتين باستخدام أحد رموز المقارنة.

مثلًا:

7 > 4

وهذا يعني أن 7 أكبر من 4.

ومثال آخر:

3 < 9

وهذا يعني أن 3 أصغر من 9.

وقد تحتوي المتباينة على متغير:

x + 3 > 8

وهنا نريد معرفة القيم التي يمكن أن يأخذها x حتى تكون المتباينة صحيحة.

رموز المتباينات الأساسية

• > أكبر من.
• < أصغر من.
• ≥ أكبر من أو يساوي.
• ≤ أصغر من أو يساوي.

أمثلة

5 > 2

يعني أن 5 أكبر من 2.

2 < 5

يعني أن 2 أصغر من 5.

7 ≥ 7

صحيحة لأن 7 يساوي 7.

8 ≥ 5

صحيحة لأن 8 أكبر من 5.

4 ≤ 4

صحيحة لأن 4 يساوي 4.

كيف تتذكر اتجاه علامة المتباينة؟

يمكن النظر إلى الرمز وكأنه سهم أو فتحة تتجه نحو العدد الأكبر.

مثلًا:

9 > 4

الفتحة الكبيرة باتجاه 9 لأنه العدد الأكبر.

أما:

4 < 9

فالفتحة أيضًا باتجاه 9.

الفرق بين المعادلة والمتباينة

المعادلة تستخدم علامة المساواة:

x + 4 = 10

أما المتباينة فتستخدم علاقة مقارنة:

x + 4 > 10

في المعادلة نبحث عن القيم التي تجعل الطرفين متساويين.

أما في المتباينة فنبحث عن القيم التي تجعل العلاقة صحيحة.

حل المتباينة بإضافة عدد أو طرحه

يمكن إضافة العدد نفسه إلى طرفي المتباينة أو طرحه منهما دون تغيير اتجاه الإشارة.

مثال

حل:

x + 5 > 12

نطرح 5 من الطرفين:

x + 5 - 5 > 12 - 5

إذن:

x > 7

أي أن جميع القيم الأكبر من 7 تحقق المتباينة.

مثال آخر

حل:

x - 4 ≤ 9

نضيف 4 إلى الطرفين:

x - 4 + 4 ≤ 9 + 4

إذن:

x ≤ 13

الضرب والقسمة على عدد موجب

إذا ضربنا طرفي المتباينة أو قسمناهما على عدد موجب، فإن اتجاه الإشارة لا يتغير.

مثال

حل:

3x > 15

نقسم الطرفين على 3:

x > 5

إذن:

x > 5

متى تنعكس إشارة المتباينة؟

هذه أهم قاعدة يجب الانتباه إليها عند حل المتباينات.

إذا ضربت طرفي المتباينة أو قسمتهما على عدد سالب، يجب عكس اتجاه الإشارة.

أي:

> تصبح <

< تصبح >

≥ تصبح ≤

≤ تصبح ≥

مثال

حل:

-2x > 10

نقسم الطرفين على -2.

بما أننا قسمنا على عدد سالب، نعكس الإشارة:

x < -5

إذن:

x < -5

لماذا تنعكس الإشارة عند القسمة على عدد سالب؟

لفهم القاعدة بدل حفظها فقط، انظر إلى مثال بسيط:

3 > 1

إذا ضربنا الطرفين في -1:

-3 و -1

تصبح العلاقة:

-3 < -1

إذن اتجاه المقارنة تغير لأن ترتيب الأعداد على خط الأعداد انعكس عند الضرب في عدد سالب.

مثال شامل على متباينة خطية

حل المتباينة:

2x + 4 > 12

نطرح 4 من الطرفين:

2x > 8

نقسم على 2:

x > 4

إذن مجموعة الحل هي جميع القيم الأكبر من 4.

مثال مع عدد سالب

حل:

-3x + 6 ≤ 15

نطرح 6 من الطرفين:

-3x ≤ 9

نقسم على -3، لذلك نعكس الإشارة:

x ≥ -3

المتباينات المزدوجة

قد تحتوي المسألة على متباينة مزدوجة مثل:

2 < x < 7

وهذا يعني أن x أكبر من 2 وأصغر من 7 في الوقت نفسه.

إذا كانت x عددًا صحيحًا، فالقيم الممكنة هي:

3، 4، 5، 6

مثال على المتباينة المزدوجة

إذا كان:

3 ≤ x ≤ 8

فإن x يمكن أن يساوي:

3، 4، 5، 6، 7، 8

لاحظ أن الرقمين 3 و8 داخل مجموعة الحل لأن الرمزين يحتويان على علامة المساواة.

الفرق بين > و≥

إذا كانت المتباينة:

x > 5

فإن 5 نفسها ليست ضمن الحل.

أما:

x ≥ 5

فإن 5 ضمن الحل.

وهذا الفرق مهم جدًا في أسئلة الاختيار من متعدد.

الفرق بين < و≤

إذا كانت:

x < 10

فإن 10 ليست ضمن الحل.

أما:

x ≤ 10

فإن 10 ضمن الحل.

تمثيل المتباينات على خط الأعداد

يمكن تمثيل حلول المتباينات على خط الأعداد.

مثلًا:

x > 4

نستخدم دائرة مفتوحة عند 4 لأن 4 غير مشمولة، ثم نأخذ جميع القيم إلى يمين 4.

أما:

x ≥ 4

فنستخدم دائرة مغلقة عند 4 لأن 4 مشمولة في الحل.

المتباينات والأعداد الصحيحة

عندما يذكر السؤال أن x عدد صحيح، فإن ذلك يؤثر على الإجابة.

مثال

إذا كان:

2 < x < 7

وx عدد صحيح، فالقيم الممكنة:

3، 4، 5، 6

أما إذا كان x عددًا حقيقيًا، فهناك عدد لا نهائي من القيم بين 2 و7.

عدد القيم الصحيحة في متباينة

مثال

كم عدد الأعداد الصحيحة التي تحقق:

4 ≤ x < 10

القيم هي:

4، 5، 6، 7، 8، 9

إذن عددها:

6 قيم

مثال آخر

كم عدد الأعداد الصحيحة التي تحقق:

-3 < x ≤ 4

القيم الصحيحة هي:

-2، -1، 0، 1، 2، 3، 4

إذن عددها:

7 قيم

المتباينات في المسائل اللفظية

قد لا يعطيك السؤال المتباينة بصورة مباشرة، بل يصف موقفًا بالكلمات.

مثال

يحتاج طالب إلى الحصول على أكثر من 70 درجة للنجاح في اختبار معين. إذا رمزنا إلى درجته بالرمز x، فإن العلاقة تكون:

x > 70

لاحظ أن كلمة أكثر من تعني أكبر من، ولذلك لا تدخل الدرجة 70 ضمن الحل.

كلمات تشير إلى المتباينات

• أكبر من: >
• أصغر من: <
• على الأقل: ≥
• على الأكثر: ≤
• لا يقل عن: ≥
• لا يزيد عن: ≤
• أكثر من: >
• أقل من: <

مثال على عبارة "على الأقل"

إذا كان المطلوب أن يكون عدد الكتب التي يقرأها الطالب على الأقل 5 كتب، فإن:

x ≥ 5

لأن 5 نفسها مقبولة.

مثال على عبارة "على الأكثر"

إذا كان عدد الأخطاء على الأكثر 3، فإن:

x ≤ 3

لأن 3 نفسها مسموحة.

مثال على متباينة في مسألة سعر

لدى شخص 100 ريال، ويريد شراء عدد من المنتجات بسعر 15 ريالًا للمنتج الواحد، ويريد ألا يتجاوز المبلغ 100 ريال.

إذا كان عدد المنتجات x، فإن:

15x ≤ 100

نقسم على 15:

x ≤ 6.66...

وبما أن عدد المنتجات يجب أن يكون عددًا صحيحًا:

x ≤ 6

إذن أكبر عدد من المنتجات يمكن شراؤه هو 6.

المتباينات والمقارنة بين القيم

تظهر المتباينات بشكل طبيعي في مسائل المقارنة.

إذا كانت لدينا:

A = 2x + 3

و:

B = x + 8

ولمعرفة متى تكون A أكبر من B، نكتب:

2x + 3 > x + 8

نطرح x:

x + 3 > 8

ثم:

x > 5

إذن A أكبر من B عندما تكون x أكبر من 5.

متباينات تحتوي على أقواس

يمكن أن تحتوي المتباينة على أقواس، وفي هذه الحالة نبدأ بتوزيع العامل ثم نبسط الطرفين.

مثال

حل:

2(x + 3) > 14

نقسم الطرفين على 2:

x + 3 > 7

نطرح 3:

x > 4

مثال آخر

حل:

3(x - 2) ≤ 12

نقسم على 3:

x - 2 ≤ 4

نضيف 2:

x ≤ 6

متباينة تحتوي على عدد سالب داخل القوس

مثال

حل:

-2(x + 1) > 8

نقسم الطرفين على -2، ولذلك نعكس الإشارة:

x + 1 < -4

نطرح 1:

x < -5

التحقق من حل المتباينة

بعد الوصول إلى الحل، يمكنك اختيار قيمة مناسبة واختبارها.

مثال

لدينا:

x + 3 > 7

الحل:

x > 4

نختار x = 5.

نعوض:

5 + 3 = 8

و8 أكبر من 7.

إذن الحل صحيح.

أسئلة قدرات محلولة على المتباينات

السؤال الأول

إذا كان:

x + 7 > 12

فما قيمة x المطلوبة؟

نطرح 7:

x > 5

الإجابة: x > 5

السؤال الثاني

حل:

4x ≤ 20

نقسم على 4:

x ≤ 5

السؤال الثالث

حل:

-5x ≥ 25

نقسم على -5 ونعكس الإشارة:

x ≤ -5

السؤال الرابع

ما عدد القيم الصحيحة التي تحقق:

2 < x ≤ 8

القيم:

3، 4، 5، 6، 7، 8

الإجابة: 6 قيم.

السؤال الخامس

إذا كان:

3x + 2 ≥ 17

نطرح 2:

3x ≥ 15

نقسم على 3:

x ≥ 5

سؤال يعتمد على عكس الإشارة

حل المتباينة:

-4x + 8 < 20

نطرح 8 من الطرفين:

-4x < 12

نقسم على -4، لذلك نعكس الإشارة:

x > -3

الانتباه إلى الإشارة السالبة هنا ضروري جدًا.

المتباينات المتعددة الخطوات

في بعض الأسئلة تحتاج إلى إجراء أكثر من خطوة للوصول إلى الحل.

مثال

حل:

5x - 7 ≤ 2x + 8

نطرح 2x من الطرفين:

3x - 7 ≤ 8

نضيف 7:

3x ≤ 15

نقسم على 3:

x ≤ 5

مثال آخر

حل:

7x + 4 > 3x + 20

نطرح 3x:

4x + 4 > 20

نطرح 4:

4x > 16

نقسم على 4:

x > 4

أخطاء شائعة في حل المتباينات

نسيان عكس الإشارة

هذا هو الخطأ الأهم. إذا قسمت أو ضربت في عدد سالب، يجب عكس اتجاه المتباينة.

اعتبار علامة أكبر من مساوية

الرمز > لا يشمل القيمة نفسها، بينما ≥ يشملها.

عدم الانتباه إلى كلمة "على الأقل"

على الأقل تعني أن القيمة الدنيا مقبولة، لذلك نستخدم ≥.

عدم الانتباه إلى كلمة "على الأكثر"

على الأكثر تعني أن الحد الأعلى مقبول، لذلك نستخدم ≤.

نسيان شرط العدد الصحيح

إذا كان السؤال يطلب عددًا صحيحًا، فلا يمكن اختيار قيمة عشرية أو كسرية ضمن الحل.

كيف تحل المتباينات بسرعة في اختبار القدرات؟

1. حدد رمز المقارنة الموجود في السؤال.
2. بسّط الطرفين إن وجدت أقواسًا أو حدودًا متشابهة.
3. اجمع الحدود التي تحتوي على المتغير في طرف واحد.
4. ضع الأعداد الثابتة في الطرف الآخر.
5. اقسم أو اضرب لعزل المتغير.
6. إذا استخدمت عددًا سالبًا في الضرب أو القسمة، اعكس الإشارة.
7. إذا طلب السؤال أعدادًا صحيحة، احذف القيم غير الصحيحة من مجموعة الحل.

طريقة التعامل مع أسئلة الاختيار من متعدد

ليس من الضروري دائمًا حل المتباينة بالطريقة التقليدية إذا كانت الخيارات محدودة.

يمكن أحيانًا تجربة الخيارات مباشرة داخل المتباينة، خصوصًا إذا كانت العملية بسيطة وكان ذلك أسرع من الحل الجبري الكامل.

مثال

إذا كان:

2x + 3 > 11

فالخيارات قد تكون:

• 2
• 3
• 4
• 5

يمكنك ملاحظة أن:

2 × 4 + 3 = 11

لكن المطلوب أكبر من 11، لذلك x يجب أن تكون أكبر من 4.

إذن الخيار 5 يحقق الشرط.

تدريب عملي على المتباينات

أفضل طريقة لإتقان هذا الموضوع هي حل مسائل تبدأ بالمتباينات البسيطة ثم الانتقال إلى المسائل متعددة الخطوات والمسائل اللفظية. حاول أيضًا أن تتدرب على اكتشاف الكلمات التي تحول السؤال من عبارة عادية إلى متباينة.

اختبر فهمك للمتباينات ضمن تدريبات القسم الكمي في باب9

اختبر نفسك

حاول حل الأسئلة التالية قبل النظر إلى الإجابات.

السؤال 1

حل:

x + 9 > 15

السؤال 2

حل:

5x ≤ 35

السؤال 3

حل:

-3x < 18

السؤال 4

كم عدد الأعداد الصحيحة التي تحقق:

1 < x ≤ 7

السؤال 5

حل:

4x - 5 ≥ 15

السؤال 6

إذا كان سعر المنتج الواحد 12 ريالًا، ويريد شخص شراء عدد من المنتجات بمبلغ لا يتجاوز 60 ريالًا، فما أكبر عدد من المنتجات يمكن شراؤه؟

الإجابات

• السؤال 1: x > 6
• السؤال 2: x ≤ 7
• السؤال 3: x > -6
• السؤال 4: 6 قيم وهي 2، 3، 4، 5، 6، 7.
• السؤال 5: x ≥ 5
• السؤال 6: 5 منتجات.

خطة تدريب على المتباينات

1. احفظ رموز المتباينات ومعانيها.
2. تدرب على المتباينات ذات الخطوة الواحدة.
3. انتقل إلى المتباينات متعددة الخطوات.
4. تدرب على القسمة والضرب بالأعداد السالبة.
5. حل المتباينات المزدوجة.
6. تدرب على تحديد عدد القيم الصحيحة.
7. حل المسائل اللفظية التي تتطلب تكوين متباينة.
8. تدرب على أسئلة الاختيار من متعدد بوقت محدد.

الأسئلة الشائعة

ما أهم قاعدة في المتباينات؟

أهم قاعدة هي أن اتجاه المتباينة ينعكس عند ضرب أو قسمة طرفيها على عدد سالب.

هل يتغير اتجاه المتباينة عند جمع عدد؟

لا. عند جمع أو طرح العدد نفسه من الطرفين يبقى اتجاه المتباينة كما هو.

ماذا يحدث عند الضرب في عدد موجب؟

يبقى اتجاه المتباينة كما هو.

ماذا يحدث عند الضرب في عدد سالب؟

ينعكس اتجاه المتباينة.

ما معنى "على الأقل" في المسائل؟

تعني أن القيمة المحددة مشمولة، ولذلك تستخدم عادة الرمز ≥.

ما معنى "على الأكثر"؟

تعني أن القيمة المحددة مشمولة كحد أعلى، ولذلك تستخدم عادة الرمز ≤.

هل المتباينات مهمة للقسم الكمي؟

فهم المتباينات يساعد في التعامل مع عدد من مسائل الجبر والمقارنة وتحديد القيم الممكنة، ولذلك من المفيد إتقان أساسياتها ضمن التحضير للقسم الكمي.

الخلاصة

المتباينات وسيلة رياضية لمقارنة القيم وتحديد مجموعة من الحلول بدل البحث عن قيمة واحدة فقط. ولحلها بكفاءة يجب أن تعرف معاني الرموز، وتتعامل مع العمليات الحسابية على الطرفين بشكل صحيح، وتنتبه بشكل خاص إلى القاعدة التي تنص على عكس إشارة المتباينة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.

ابدأ بالمتباينات البسيطة، ثم انتقل إلى المتباينات متعددة الخطوات والمسائل اللفظية، ودرّب نفسك على التعامل مع الأعداد الصحيحة والكلمات مثل "أكبر من" و"على الأقل" و"على الأكثر". ومع كثرة التدريب ستصبح هذه الخطوات أسرع وأكثر تلقائية أثناء حل أسئلة القدرات.

واصل تدريبك على مهارات القسم الكمي وحل نماذج قياس وقدرات متنوعة