القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في اختبار القدرات: القواعد والأمثلة وطريقة الحل
القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر في اختبار القدرات: القواعد والأمثلة وطريقة الحل
تظهر موضوعات العوامل والقواسم والمضاعفات في كثير من مسائل الرياضيات، وهي من المهارات المهمة التي يحتاج إليها الطالب عند الاستعداد للقسم الكمي في اختبار القدرات. ومن أكثر المفاهيم التي يجب إتقانها القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، لأن فهمهما يساعد على حل مجموعة متنوعة من الأسئلة بطريقة منظمة وسريعة.
قد يبدو المفهومان متشابهين في البداية، لكن الفرق بينهما واضح: القاسم المشترك الأكبر يبحث عن أكبر عدد يقسم الأعداد دون باقٍ، بينما المضاعف المشترك الأصغر يبحث عن أصغر عدد يقبل القسمة على الأعداد المطلوبة.
في هذا المقال سنتعرف على معنى القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، وطرق إيجادهما، والتحليل إلى العوامل الأولية، والعلاقة الرياضية بينهما، مع أمثلة محلولة وأسئلة تدريبية وأخطاء شائعة وطرق تساعدك على توفير الوقت أثناء اختبار القدرات.
تدرب على أسئلة العوامل والأعداد من خلال نماذج اختبار قياس وقدرات
ما هو القاسم؟
القاسم أو العامل لعدد معين هو عدد يقسم هذا العدد دون أن ينتج عن القسمة باقٍ.
على سبيل المثال، قواسم العدد 12 هي:
1، 2، 3، 4، 6، 12
لأن كل واحد من هذه الأعداد يقسم 12 دون باقٍ.
مثال
هل العدد 4 قاسم للعدد 20؟
نحسب:
20 ÷ 4 = 5
بما أن الناتج عدد صحيح ولا يوجد باقٍ، فإن 4 قاسم للعدد 20.
ما هو المضاعف؟
مضاعفات العدد هي الأعداد الناتجة عن ضربه في الأعداد الصحيحة الموجبة.
مثلًا مضاعفات العدد 5 هي:
5، 10، 15، 20، 25، 30، 35، 40...
أي أن:
5 × 1 = 5
5 × 2 = 10
5 × 3 = 15
وهكذا.
ما هو القاسم المشترك الأكبر؟
القاسم المشترك الأكبر، ويُختصر أحيانًا إلى ق.م.أ، هو أكبر عدد صحيح موجب يستطيع قسمة عددين أو أكثر دون باقٍ.
لنفترض أننا نريد إيجاد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 و24.
قواسم 18:
1، 2، 3، 6، 9، 18
قواسم 24:
1، 2، 3، 4، 6، 8، 12، 24
القواسم المشتركة هي:
1، 2، 3، 6
وأكبرها هو 6.
إذن:
ق.م.أ للعددين 18 و24 = 6
ما هو المضاعف المشترك الأصغر؟
المضاعف المشترك الأصغر، ويُختصر أحيانًا إلى م.م.أ، هو أصغر عدد صحيح موجب يكون من مضاعفات عددين أو أكثر في الوقت نفسه.
لنأخذ العددين 6 و8.
مضاعفات 6:
6، 12، 18، 24، 30، 36...
مضاعفات 8:
8، 16، 24، 32، 40...
أول مضاعف مشترك بينهما هو 24.
إذن:
م.م.أ للعددين 6 و8 = 24
الفرق بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
من المهم جدًا عدم الخلط بين المفهومين أثناء حل أسئلة القدرات.
- القاسم المشترك الأكبر: يبحث عن أكبر عدد يقسم الأعداد دون باقٍ.
- المضاعف المشترك الأصغر: يبحث عن أصغر عدد يكون مضاعفًا للأعداد المطلوبة.
يمكن تذكر الفكرة بهذه الطريقة:
القاسم = يقسم العدد.
المضاعف = العدد ينتج عنه بالضرب.
إيجاد القاسم المشترك الأكبر بطريقة كتابة القواسم
هذه الطريقة مناسبة عندما تكون الأعداد صغيرة.
مثال: أوجد ق.م.أ للعددين 20 و30
قواسم 20:
1، 2، 4، 5، 10، 20
قواسم 30:
1، 2، 3، 5، 6، 10، 15، 30
القواسم المشتركة:
1، 2، 5، 10
إذن:
ق.م.أ = 10
إيجاد القاسم المشترك الأكبر بالتحليل إلى عوامل أولية
عندما تكون الأعداد أكبر، يكون التحليل إلى العوامل الأولية من الطرق المفيدة والمنظمة.
لفهم الطريقة، نحلل كل عدد إلى عوامله الأولية.
مثال: أوجد ق.م.أ للعددين 36 و48
نحلل العدد 36:
36 = 2 × 2 × 3 × 3
أي:
36 = 2² × 3²
نحلل العدد 48:
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
أي:
48 = 2⁴ × 3
نأخذ العوامل المشتركة فقط، وبأصغر أس لكل عامل:
2² × 3 = 4 × 3 = 12
إذن:
ق.م.أ = 12
قاعدة مهمة في التحليل إلى العوامل الأولية
عند إيجاد القاسم المشترك الأكبر:
- نأخذ العوامل التي تظهر في جميع الأعداد.
- نختار أصغر أس لكل عامل مشترك.
- نضرب العوامل الناتجة معًا.
أما عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر فنستخدم قاعدة مختلفة، وهي أخذ جميع العوامل التي ظهرت، مع اختيار أكبر أس لكل عامل.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بكتابة المضاعفات
هذه الطريقة مناسبة عندما تكون الأعداد صغيرة.
مثال: أوجد م.م.أ للعددين 4 و6
مضاعفات 4:
4، 8، 12، 16، 20، 24...
مضاعفات 6:
6، 12، 18، 24...
أول مضاعف مشترك هو 12.
إذن:
م.م.أ = 12
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتحليل إلى عوامل أولية
يمكن استخدام التحليل إلى العوامل الأولية أيضًا لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
مثال: أوجد م.م.أ للعددين 18 و24
نحلل العددين:
18 = 2 × 3²
24 = 2³ × 3
نأخذ جميع العوامل بأكبر أس ظهر:
2³ × 3²
نحسب:
8 × 9 = 72
إذن:
م.م.أ = 72
الفرق في التحليل بين ق.م.أ وم.م.أ
هذه من أهم القواعد التي يجب حفظها وفهمها.
عند إيجاد القاسم المشترك الأكبر
نأخذ العوامل المشتركة بأصغر الأسس.
عند إيجاد المضاعف المشترك الأصغر
نأخذ جميع العوامل بأكبر الأسس.
مثال:
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
إذن:
ق.م.أ = 2 × 3 = 6
م.م.أ = 2² × 3² = 36
العلاقة بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر
هناك علاقة مهمة جدًا بينهما عند التعامل مع عددين موجبين.
ق.م.أ × م.م.أ = حاصل ضرب العددين
أي إذا كان لدينا العددان a وb:
ق.م.أ(a,b) × م.م.أ(a,b) = a × b
مثال
لدينا العددان 12 و18.
ق.م.أ = 6
م.م.أ = 36
نختبر العلاقة:
6 × 36 = 216
12 × 18 = 216
إذن العلاقة صحيحة.
كيف تستخدم العلاقة لحل سؤال بسرعة؟
في بعض أسئلة القدرات قد يُعطى أحد العددين والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، ويُطلب إيجاد العدد الآخر.
مثال
إذا كان أحد العددين 12، والقاسم المشترك الأكبر بين عددين هو 4، والمضاعف المشترك الأصغر هو 60، فما العدد الآخر؟
نستخدم العلاقة:
ق.م.أ × م.م.أ = العدد الأول × العدد الثاني
4 × 60 = 12 × العدد الثاني
240 = 12 × العدد الثاني
العدد الثاني:
240 ÷ 12 = 20
إذن العدد الآخر هو:
20
القواسم والمضاعفات في المسائل اللفظية
قد لا يأتي السؤال بصورة مباشرة مثل: أوجد ق.م.أ أو م.م.أ. أحيانًا تأتي الفكرة داخل مسألة لفظية.
مثال: تقسيم الأشياء بالتساوي
لدى معلم 24 قلمًا و36 دفترًا، ويريد تقسيمها إلى أكبر عدد ممكن من المجموعات المتطابقة دون أن يتبقى شيء. فما أكبر عدد من المجموعات؟
بما أن المطلوب هو أكبر عدد من المجموعات التي يمكن تقسيم العناصر عليها بالتساوي، فنبحث عن القاسم المشترك الأكبر.
ق.م.أ للعددين 24 و36 هو 12.
إذن يمكن تكوين:
12 مجموعة
متى نستخدم القاسم المشترك الأكبر في المسألة؟
غالبًا نستخدم القاسم المشترك الأكبر عندما تشير المسألة إلى:
- أكبر عدد ممكن.
- تقسيم الأشياء بالتساوي.
- تكوين مجموعات متطابقة.
- أكبر طول يمكن استخدامه دون بقايا.
- أكبر عدد من القطع المتساوية.
- تقسيم كمية إلى أجزاء متساوية بأكبر حجم ممكن.
مثال على الأطوال
لديك قطعتان من الحبل طول الأولى 48 مترًا والثانية 60 مترًا، وتريد تقطيعهما إلى قطع متساوية بأكبر طول ممكن دون هدر.
نبحث عن:
ق.م.أ للعددين 48 و60.
تحليل العددين:
48 = 2⁴ × 3
60 = 2² × 3 × 5
إذن:
ق.م.أ = 2² × 3 = 12
أكبر طول للقطعة هو:
12 مترًا
متى نستخدم المضاعف المشترك الأصغر؟
غالبًا نستخدم المضاعف المشترك الأصغر عندما يكون السؤال متعلقًا بـ:
- موعد تكرار حدثين أو أكثر.
- أصغر عدد يقبل القسمة على أعداد معينة.
- تزامن دورات متكررة.
- أصغر كمية يمكن تقسيمها بالتساوي.
- أول مرة تتكرر فيها أحداث في الوقت نفسه.
مثال على تزامن الأحداث
جرس يرن كل 6 دقائق، وجرس آخر يرن كل 8 دقائق. إذا رن الجرس الأول والثاني معًا الآن، فبعد كم دقيقة سيرنان معًا مرة أخرى؟
نبحث عن م.م.أ للعددين 6 و8.
مضاعفات 6:
6، 12، 18، 24...
مضاعفات 8:
8، 16، 24...
إذن أول مضاعف مشترك هو 24.
الإجابة: بعد 24 دقيقة.
طريقة سريعة جدًا لإيجاد ق.م.أ
إذا كانت الأعداد كبيرة، يمكن استخدام خوارزمية القسمة المتتابعة.
مثال: ق.م.أ للعددين 84 و30
نقسم 84 على 30:
84 = 30 × 2 + 24
ثم:
30 = 24 × 1 + 6
ثم:
24 = 6 × 4 + 0
عندما يصبح الباقي صفرًا، يكون آخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر.
إذن:
ق.م.أ = 6
حساب م.م.أ باستخدام ق.م.أ
إذا كان المطلوب إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين، وكان القاسم المشترك الأكبر معروفًا، يمكن استخدام العلاقة:
م.م.أ = حاصل ضرب العددين ÷ ق.م.أ
مثال
أوجد م.م.أ للعددين 24 و36 إذا كان ق.م.أ = 12.
م.م.أ = (24 × 36) ÷ 12
م.م.أ = 864 ÷ 12
م.م.أ = 72
حالة مهمة: إذا كان أحد العددين يقسم الآخر
هذه من الحالات التي توفر وقتًا كبيرًا في اختبار القدرات.
إذا كان العدد الأصغر يقسم العدد الأكبر دون باقٍ، فإن:
القاسم المشترك الأكبر = العدد الأصغر
و:
المضاعف المشترك الأصغر = العدد الأكبر
مثال
أوجد ق.م.أ وم.م.أ للعددين 8 و24.
بما أن:
24 ÷ 8 = 3
إذن:
ق.م.أ = 8
م.م.أ = 24
حالة مهمة أخرى: عددان أوليان
إذا كان العددان أوليين ومختلفين، فلا يوجد بينهما عامل مشترك أكبر من 1.
مثال
العددان 5 و7 عددان أوليان مختلفان.
إذن:
ق.م.أ = 1
وم.م.أ:
5 × 7 = 35
إذن:
م.م.أ = 35
أسئلة قدرات محلولة على القاسم والمضاعف
السؤال الأول
ما القاسم المشترك الأكبر للعددين 32 و48؟
تحليل العددين:
32 = 2⁵
48 = 2⁴ × 3
نأخذ أصغر أس للعامل المشترك:
2⁴ = 16
الإجابة: 16
السؤال الثاني
ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 12 و20؟
12 = 2² × 3
20 = 2² × 5
نأخذ جميع العوامل بأكبر أس:
2² × 3 × 5 = 4 × 15 = 60
الإجابة: 60
السؤال الثالث
ما القاسم المشترك الأكبر للعددين 45 و75؟
45 = 3² × 5
75 = 3 × 5²
العوامل المشتركة بأصغر الأسس:
3 × 5 = 15
الإجابة: 15
السؤال الرابع
ما المضاعف المشترك الأصغر للعددين 15 و18؟
15 = 3 × 5
18 = 2 × 3²
نأخذ:
2 × 3² × 5 = 90
الإجابة: 90
السؤال الخامس
ثلاثة مصابيح تومض كل 4 دقائق و6 دقائق و10 دقائق على التوالي. إذا أضاءت معًا الآن، فبعد كم دقيقة ستضيء معًا مرة أخرى؟
نحتاج إلى المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 4 و6 و10.
4 = 2²
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5
م.م.أ = 2² × 3 × 5
م.م.أ = 60
الإجابة: بعد 60 دقيقة.
أسئلة تحتاج إلى الانتباه إلى صياغتها
من الأخطاء الشائعة اختيار ق.م.أ أو م.م.أ مباشرة دون فهم المطلوب في السؤال.
قارن بين العبارتين:
ما أكبر عدد يمكن تقسيم الكميات عليه بالتساوي؟
غالبًا نبحث عن القاسم المشترك الأكبر.
أما:
ما أصغر عدد يمكن أن يكون مضاعفًا للأعداد كلها؟
فنبحث عن المضاعف المشترك الأصغر.
أخطاء شائعة في أسئلة القواسم والمضاعفات
الخلط بين ق.م.أ وم.م.أ
هذا أكثر خطأ شائع. يجب ربط القاسم بفكرة التقسيم، والمضاعف بفكرة التكرار أو التوافق.
اختيار أكبر عامل بدل العوامل المشتركة
القاسم المشترك الأكبر لا يعني أكبر عامل لأحد الأعداد، بل يعني أكبر عامل مشترك بين جميع الأعداد المطلوبة.
اختيار أصغر مضاعف لأحد الأعداد
المضاعف المشترك الأصغر يجب أن يكون مضاعفًا لكل الأعداد، وليس لعدد واحد فقط.
الاستمرار في كتابة المضاعفات رغم وجود طريقة أسرع
عندما تكون الأعداد كبيرة، قد تكون كتابة المضاعفات مضيعة للوقت. في هذه الحالة استخدم التحليل إلى العوامل الأولية أو العلاقة بين ق.م.أ وم.م.أ.
كيف توفر الوقت في اختبار القدرات؟
- حدد أولًا هل المطلوب قاسم أم مضاعف.
- انتبه إلى كلمات مثل أكبر، أصغر، بالتساوي، يتكرر، يتزامن.
- إذا كان أحد العددين يقسم الآخر، لا تحتاج إلى تحليل طويل.
- استخدم التحليل إلى العوامل الأولية للأعداد المتوسطة والكبيرة.
- استخدم العلاقة بين ق.م.أ وم.م.أ عندما يعطي السؤال معلومات إضافية.
- تدرب على الحساب الذهني للعوامل الأولية والأعداد الصغيرة.
- لا تستهلك وقتًا طويلًا في سؤال واحد إذا كانت الخيارات تسمح بالاستبعاد السريع.
تدريب عملي على العوامل والقواسم
أفضل طريقة لإتقان هذا النوع من الأسئلة ليست حفظ القواعد فقط، بل حل مجموعة متنوعة من المسائل. حاول في كل سؤال تحديد الفكرة أولًا قبل إجراء الحساب.
ابدأ بالأسئلة المباشرة، ثم انتقل إلى المسائل اللفظية، وبعد ذلك تدرب على الأسئلة التي تجمع بين القواسم والمضاعفات والنسب أو الأعداد الصحيحة.
طبّق ما تعلمته في نماذج كمية متنوعة داخل اختبارات باب9
خطة تدريب قصيرة لإتقان الموضوع
- راجع مفهوم القاسم والمضاعف.
- احفظ معنى ق.م.أ وم.م.أ مع فهمه وليس بمجرد الحفظ.
- تدرب على تحليل الأعداد إلى عوامل أولية.
- حل مسائل مباشرة على ق.م.أ.
- حل مسائل مباشرة على م.م.أ.
- تدرب على المسائل اللفظية.
- استخدم العلاقة بين ق.م.أ وم.م.أ في مسائل السرعة.
- حل نماذج مختلطة بوقت محدد.
اختبار نفسك
حاول حل الأسئلة التالية قبل النظر إلى الإجابات.
السؤال 1
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 54 و72.
السؤال 2
أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 16 و24.
السؤال 3
ثلاثة أحداث تتكرر كل 5 دقائق و10 دقائق و15 دقيقة. بعد كم دقيقة تتزامن مرة أخرى؟
السؤال 4
لدى شخص قطعتان من الخشب بطول 36 و48 مترًا ويريد تقطيعهما إلى أكبر قطع متساوية ممكنة دون هدر. ما طول القطعة الواحدة؟
الإجابات
- السؤال 1: 18
- السؤال 2: 48
- السؤال 3: 30 دقيقة
- السؤال 4: 12 مترًا
نصائح أخيرة قبل اختبار القدرات
موضوع القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر من الموضوعات التي يمكن أن تصبح سهلة جدًا مع التدريب. المهم هو فهم الفرق بين القاسم والمضاعف، ثم معرفة متى تستخدم كل منهما.
إذا رأيت مسألة تتحدث عن تقسيم شيء إلى مجموعات أو قطع متساوية بأكبر حجم ممكن، ففكر في القاسم المشترك الأكبر.
وإذا كانت المسألة تتحدث عن تزامن أحداث أو أصغر عدد يقبل القسمة على عدة أعداد، ففكر في المضاعف المشترك الأصغر.
كما أن إتقان التحليل إلى العوامل الأولية سيجعلك أسرع في عدد كبير من مسائل القسم الكمي، وليس فقط في مسائل ق.م.أ وم.م.أ.
الأسئلة الشائعة
هل القاسم المشترك الأكبر يكون دائمًا أصغر من العددين؟
نعم، يكون القاسم المشترك الأكبر أقل من أو مساويًا لأصغر العددين، ويكون مساويًا له عندما يكون العدد الأصغر قاسمًا للعدد الأكبر.
هل المضاعف المشترك الأصغر يكون أكبر من العددين؟
يكون أكبر من أو مساويًا لأكبر العددين، ويكون مساويًا للعدد الأكبر عندما يكون العدد الأصغر قاسمًا له.
ما الطريقة الأفضل لإيجاد ق.م.أ؟
تعتمد الطريقة على حجم الأعداد. يمكن استخدام كتابة القواسم للأعداد الصغيرة، والتحليل إلى العوامل الأولية أو القسمة المتتابعة للأعداد الأكبر.
ما الطريقة الأفضل لإيجاد م.م.أ؟
يمكن كتابة المضاعفات عندما تكون الأعداد صغيرة، بينما يكون التحليل إلى العوامل الأولية أكثر تنظيمًا عندما تكون الأعداد أكبر.
هل يجب حفظ العلاقة بين ق.م.أ وم.م.أ؟
من المفيد جدًا معرفة العلاقة: ق.م.أ × م.م.أ = حاصل ضرب العددين، لأنها قد تختصر خطوات الحل في بعض مسائل القسم الكمي.
الخلاصة
القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر من المهارات الأساسية في الرياضيات التي يمكن أن تدخل ضمن أفكار القسم الكمي في اختبار القدرات. القاسم المشترك الأكبر يهتم بأكبر عدد يقسم الأعداد دون باقٍ، بينما يهتم المضاعف المشترك الأصغر بأصغر عدد يكون مضاعفًا للأعداد المطلوبة.
ركز على فهم الفرق بينهما، وأتقن التحليل إلى العوامل الأولية، وتعلم كيفية قراءة صياغة السؤال. ومع التدريب المستمر ستتمكن من التعرف على الطريقة المناسبة للحل بسرعة أكبر وتقليل الوقت المستغرق في المسائل الحسابية.
لا يوجد تعليقات جديدة