التغير الطردي والعكسي في اختبار القدرات: شرح شامل للقوانين والأمثلة وطرق الحل

التغير الطردي والعكسي من الأفكار المهمة في الرياضيات، وتظهر تطبيقاتهما في كثير من مسائل القسم الكمي في اختبار القدرات، خصوصًا المسائل التي تربط بين كميتين أو أكثر مثل عدد العمال والزمن، السرعة والزمن، السعر والكمية، والمسافة ومعدل الحركة.

المفتاح الأساسي في هذه المسائل هو فهم اتجاه العلاقة بين المتغيرات. فإذا زادت قيمة متغير وزادت معها قيمة المتغير الآخر بطريقة متناسبة، فغالبًا نتعامل مع تغير طردي. أما إذا زادت إحدى القيم بينما انخفضت الأخرى مع بقاء حاصل ضربهما ثابتًا، فالعلاقة تكون عكسية.

في هذا المقال سنشرح التغير الطردي والعكسي بطريقة مبسطة، ونوضح القوانين الأساسية، وكيفية اكتشاف نوع العلاقة من نص السؤال أو الجدول، وكيفية حساب ثابت التناسب، ثم نحل مجموعة متنوعة من الأمثلة والتدريبات المناسبة لاختبار القدرات.

ما المقصود بالتغير الطردي؟

إذا كانت قيمة متغير تزداد عندما تزداد قيمة متغير آخر بالنسبة نفسها، نقول إن المتغيرين بينهما علاقة طردية.

يمكن تمثيل العلاقة الطردية بالقانون:

y = kx

حيث k هو ثابت التناسب.

في هذه العلاقة، إذا تضاعفت قيمة x، تتضاعف قيمة y، وإذا أصبحت x ثلاثة أمثالها، تصبح y ثلاثة أمثالها أيضًا.

مثال بسيط على التغير الطردي

إذا كان سعر القلم الواحد 5 ريالات، فإن تكلفة شراء الأقلام تعتمد طرديًا على عدد الأقلام.

إذا اشترينا قلمًا واحدًا:

التكلفة = 5

قلمان:

التكلفة = 10

4 أقلام:

التكلفة = 20

10 أقلام:

التكلفة = 50

كلما زاد عدد الأقلام زادت التكلفة بالنسبة نفسها.

ثابت التناسب في التغير الطردي

إذا كانت العلاقة:

y = kx

فيمكن إيجاد ثابت التناسب من:

k = y/x

مثال

إذا كانت:

x = 4

و:

y = 20

فإن:

k = 20/4 = 5

إذن العلاقة:

y = 5x

كيف أكتشف التغير الطردي؟

هناك أكثر من طريقة.

إذا كانت العلاقة طردية، فإن:

y/x = ثابت

مثل الجدول التالي:

• x = 2 ، y = 6
• x = 4 ، y = 12
• x = 6 ، y = 18

نلاحظ:

6/2 = 3

12/4 = 3

18/6 = 3

إذن العلاقة طردية وثابت التناسب يساوي 3.

خصائص التغير الطردي

• إذا تضاعف x، تضاعف y.
• إذا انخفض x إلى النصف، انخفض y إلى النصف.
• نسبة y إلى x ثابتة.
• يمكن كتابة العلاقة على الصورة y = kx.

مثال على التغير الطردي في اختبار القدرات

إذا كان ثمن 6 دفاتر هو 42 ريالًا، فما ثمن 10 دفاتر بالسعر نفسه؟

سعر الدفتر الواحد:

42 ÷ 6 = 7

ثمن 10 دفاتر:

10 × 7 = 70

إذن الإجابة هي 70 ريالًا.

طريقة النسبة في التغير الطردي

يمكن حل المثال السابق بالتناسب:

6/42 = 10/x

بالمقابلة:

6x = 420

إذن:

x = 70

اختر الطريقة التي تكون أسرع وأوضح في الاختبار.

ما المقصود بالتغير العكسي؟

في التغير العكسي، عندما تزداد قيمة أحد المتغيرين، تنخفض قيمة المتغير الآخر بطريقة تحافظ على ثبات حاصل الضرب.

القانون:

xy = k

أو:

y = k/x

حيث k ثابت التناسب العكسي.

مثال بسيط على التغير العكسي

إذا كان عدد العمال الذين ينجزون عملًا معينًا يزداد، فإن الزمن اللازم لإنجاز العمل ينخفض، مع ثبات كمية العمل والظروف نفسها.

مثلًا:

• عامل واحد يحتاج 12 ساعة.
• عاملان يحتاجان 6 ساعات.
• 3 عمال يحتاجون 4 ساعات.
• 4 عمال يحتاجون 3 ساعات.

نلاحظ أن حاصل ضرب عدد العمال في عدد الساعات ثابت:

1 × 12 = 12

2 × 6 = 12

3 × 4 = 12

4 × 3 = 12

إذن العلاقة عكسية.

ثابت التناسب العكسي

في العلاقة العكسية:

xy = k

إذن:

k = xy

إذا كان:

x = 5

و:

y = 12

فإن:

k = 5 × 12 = 60

إذن:

y = 60/x

كيف أكتشف التغير العكسي؟

إذا كان حاصل ضرب المتغيرين ثابتًا، فالعلاقة عكسية.

مثل:

• x = 2 ، y = 30
• x = 3 ، y = 20
• x = 5 ، y = 12
• x = 6 ، y = 10

نحسب حاصل الضرب:

2 × 30 = 60

3 × 20 = 60

5 × 12 = 60

6 × 10 = 60

إذن العلاقة عكسية.

الفرق الأساسي بين الطردي والعكسي

العلاقة	ما يحدث عند زيادة x	العلاقة الرياضية	الثابت
طردية	تزداد y	y = kx	y/x
عكسية	تنخفض y	y = k/x	xy

طريقة سريعة للتمييز بينهما

اسأل نفسك:

هل المتغيران يتحركان في الاتجاه نفسه؟

إذا نعم، فقد تكون العلاقة طردية.

هل أحدهما يزيد عندما ينقص الآخر؟

إذا نعم، فقد تكون العلاقة عكسية.

بعد ذلك تحقق حسابيًا:

• للطردي: هل y/x ثابت؟
• للعكسي: هل xy ثابت؟

مثال للمقارنة

العلاقة الأولى:

y = 4x

إذا زادت x من 2 إلى 4، فإن y تنتقل من 8 إلى 16.

هذه علاقة طردية.

العلاقة الثانية:

y = 40/x

إذا زادت x من 2 إلى 4:

y = 40/2 = 20

ثم:

y = 40/4 = 10

إذن y انخفضت، وهذه علاقة عكسية.

التغير الطردي في مسائل السعر والكمية

عندما يكون سعر الوحدة ثابتًا، فإن التكلفة الكلية تتغير طرديًا مع عدد الوحدات.

إذا كان سعر القطعة 8 ريالات:

التكلفة = 8 × العدد

لذلك:

• 5 قطع = 40 ريالًا.
• 10 قطع = 80 ريالًا.
• 20 قطعة = 160 ريالًا.

كلما تضاعف العدد تضاعفت التكلفة.

التغير العكسي في مسائل العمال والزمن

من أشهر تطبيقات التغير العكسي مسائل العمل.

إذا كان عدد العمال يزداد مع ثبات العمل ومعدل الإنجاز لكل عامل، فإن الزمن المطلوب ينخفض.

إذا كان:

عدد العمال × الزمن = ثابت

فإن العلاقة عكسية.

مثال

4 عمال ينجزون عملًا في 15 يومًا. كم يومًا يحتاج 6 عمال بالمعدل نفسه؟

بما أن العلاقة عكسية:

4 × 15 = 6 × x

60 = 6x

x = 10

إذن يحتاج 6 عمال إلى 10 أيام.

التغير العكسي في مسائل السرعة والزمن

إذا كانت المسافة ثابتة، فإن السرعة والزمن بينهما علاقة عكسية.

لأن:

المسافة = السرعة × الزمن

وعندما تكون المسافة ثابتة:

السرعة × الزمن = ثابت

مثال

سيارة تقطع مسافة معينة بسرعة 60 كم/ساعة خلال 5 ساعات. كم ساعة تحتاج لقطع المسافة نفسها بسرعة 75 كم/ساعة؟

بما أن المسافة ثابتة:

60 × 5 = 75 × x

300 = 75x

x = 4

إذن الزمن الجديد هو 4 ساعات.

التغير الطردي في مسائل الإنتاج

إذا كان معدل إنتاج العامل ثابتًا، فإن كمية الإنتاج تتناسب طرديًا مع الزمن.

إذا كان العامل ينتج 20 قطعة في الساعة:

في ساعتين:

40 قطعة

وفي 5 ساعات:

100 قطعة

لأن:

الإنتاج = معدل الإنتاج × الزمن

التغير الطردي في مسائل المسافة

إذا كانت السرعة ثابتة، فإن المسافة تتناسب طرديًا مع الزمن.

إذا كانت السرعة 80 كم/ساعة:

خلال ساعتين:

160 كم

وخلال 5 ساعات:

400 كم

كلما زاد الزمن زادت المسافة بالنسبة نفسها.

متى لا تكون العلاقة طردية أو عكسية؟

ليس كل متغيرين يتحركان في الاتجاه نفسه يمثلان بالضرورة تغيرًا طرديًا.

وليس كل متغيرين يتحركان في اتجاهين متعاكسين يمثلان بالضرورة تغيرًا عكسيًا.

يجب التأكد من ثبات النسبة في الحالة الطردية أو ثبات حاصل الضرب في الحالة العكسية.

مثال يوضح أهمية التحقق

إذا كانت البيانات:

• x = 2 ، y = 5
• x = 4 ، y = 11

النسبة الأولى:

5/2 = 2.5

والثانية:

11/4 = 2.75

إذن العلاقة ليست طردية.

كما أن:

2 × 5 = 10

بينما:

4 × 11 = 44

إذنها ليست عكسية أيضًا وفق هذه البيانات.

التغير الطردي باستخدام معامل التناسب

إذا قيل إن y تتغير طرديًا مع x، وكان:

y = 18

عندما:

x = 6

فإن:

k = 18/6 = 3

إذن:

y = 3x

وعندما x = 10:

y = 30

التغير العكسي باستخدام معامل التناسب

إذا كانت y تتغير عكسيًا مع x، وكان:

y = 8

عندما:

x = 5

فإن:

k = 5 × 8 = 40

إذن:

y = 40/x

وعندما x = 10:

y = 4

التغير الطردي والعكسي في الجداول

قد يعطيك السؤال جدولًا بدل معادلة، وهنا استخدم طريقة الثابت.

جدول طردي

• x = 1 ، y = 7
• x = 2 ، y = 14
• x = 4 ، y = 28
• x = 5 ، y = 35

كل مرة:

y/x = 7

إذن العلاقة طردية.

جدول عكسي

• x = 2 ، y = 30
• x = 3 ، y = 20
• x = 5 ، y = 12
• x = 10 ، y = 6

كل مرة:

xy = 60

إذن العلاقة عكسية.

التناسب الطردي في الوصفات والكميات

إذا كانت وصفة تحتاج إلى كمية ثابتة من كل مكون لكل عدد محدد من الأشخاص، فإن كمية المكونات تتغير طرديًا مع عدد الأشخاص، طالما بقيت النسب نفسها.

إذا كانت وصفة لأربعة أشخاص تحتاج إلى 300 غرام من مكون معين، فإن وصفة لثمانية أشخاص تحتاج إلى:

300 × 2 = 600 غرام

لأن عدد الأشخاص تضاعف.

التناسب العكسي في توزيع العمل

إذا كان عدد العمال يزيد لإنجاز العمل نفسه، فإن الزمن ينخفض بشرط ثبات إنتاجية العامل وظروف العمل.

وهذه من أكثر الأفكار شيوعًا في مسائل القدرات.

مثال متعدد الخطوات

خمسة عمال ينجزون عملًا في 12 يومًا. إذا أصبح عدد العمال 8، فكم يومًا يحتاجون لإنجاز العمل نفسه بالمعدل نفسه؟

نستخدم العلاقة العكسية:

5 × 12 = 8 × x

60 = 8x

x = 7.5

إذن الزمن هو 7.5 أيام.

في المسائل الواقعية قد تحتاج إلى تفسير معنى نصف اليوم، لكن حسابيًا الناتج هو 7.5.

طريقة النسبة في التغير العكسي

إذا زاد عدد العمال من 4 إلى 8، فقد تضاعف عدد العمال.

في التغير العكسي، ينخفض الزمن إلى النصف.

إذا كان الزمن الأصلي 18 يومًا:

18 ÷ 2 = 9 أيام

هذه طريقة سريعة جدًا في بعض أسئلة الاختيار من متعدد.

علاقة السرعة والزمن والمسافة

هذه العلاقة مهمة جدًا:

المسافة = السرعة × الزمن

إذا كانت المسافة ثابتة:

السرعة × الزمن = ثابت

فتكون السرعة والزمن في علاقة عكسية.

أما إذا كان الزمن ثابتًا:

المسافة = الزمن × السرعة

فتكون المسافة والسرعة في علاقة طردية.

كيف أتعامل مع عبارة "يتناسب طرديًا"؟

إذا قال السؤال إن y يتناسب طرديًا مع x، اكتب مباشرة:

y = kx

ثم استخدم أي زوج من القيم لإيجاد k.

كيف أتعامل مع عبارة "يتناسب عكسيًا"؟

إذا قال السؤال إن y يتناسب عكسيًا مع x، اكتب:

y = k/x

أو:

xy = k

ثم استخدم القيم المعطاة لإيجاد k.

أخطاء شائعة في التغير الطردي والعكسي

1. الخلط بين الطردي والعكسي

زيادة المتغيرين معًا لا تعني علاقة عكسية، بل قد تكون طردية إذا بقيت النسبة ثابتة.

2. استخدام حاصل الضرب في العلاقة الطردية

في التغير الطردي نبحث عن:

y/x

وليس:

xy

3. استخدام النسبة في العلاقة العكسية

في التغير العكسي نبحث عن:

xy

للتأكد من ثبات حاصل الضرب.

4. تجاهل الشروط

في مسائل العمال والزمن مثلًا يجب أن تكون كمية العمل وظروفه ومعدل الإنجاز ثابتة حتى نستخدم العلاقة العكسية البسيطة.

5. الاعتماد على الاتجاه فقط

كون متغيرين يتحركان في الاتجاه نفسه أو المعاكس لا يكفي وحده؛ يجب التأكد من ثبات النسبة أو حاصل الضرب.

استراتيجية الحل السريع

1. حدد المتغيرين في السؤال.
2. حدد هل العلاقة طردية أم عكسية.
3. في الطردي استخدم النسبة أو المعادلة y=kx.
4. في العكسي استخدم حاصل الضرب أو xy=k.
5. ابحث عن عامل التغير إذا كان واضحًا.
6. راجع هل الشروط تسمح باستخدام العلاقة.

أسئلة محلولة على التغير الطردي والعكسي

السؤال الأول

إذا كان 5 أقلام تكلف 30 ريالًا، فما تكلفة 8 أقلام بالسعر نفسه؟

العلاقة طردية.

سعر القلم:

30 ÷ 5 = 6

ثمن 8:

8 × 6 = 48

الإجابة: 48 ريالًا

السؤال الثاني

6 عمال ينجزون عملًا في 10 أيام. كم يومًا يحتاج 12 عاملًا بالمعدل نفسه؟

العلاقة عكسية:

6 × 10 = 12 × x

60 = 12x

x = 5

الإجابة: 5 أيام

السؤال الثالث

إذا كان y يتناسب طرديًا مع x، وكان y = 24 عندما x = 6، فما قيمة y عندما x = 10؟

ثابت التناسب:

k = 24/6 = 4

إذن:

y = 4 × 10 = 40

الإجابة: 40

السؤال الرابع

إذا كان y يتناسب عكسيًا مع x، وكان y = 15 عندما x = 4، فما قيمة y عندما x = 10؟

ثابت التناسب:

k = 15 × 4 = 60

إذن:

y = 60/10 = 6

الإجابة: 6

السؤال الخامس

سيارة تقطع مسافة ثابتة بسرعة 80 كم/ساعة في 6 ساعات. كم تحتاج من الوقت إذا أصبحت سرعتها 120 كم/ساعة؟

العلاقة عكسية:

80 × 6 = 120 × x

480 = 120x

x = 4

الإجابة: 4 ساعات

تدريبات إضافية

التدريب الأول

إذا كان 4 كتب تكلف 60 ريالًا، فما تكلفة 7 كتب بالسعر نفسه؟

التدريب الثاني

8 عمال ينجزون عملًا في 15 يومًا. كم يومًا يحتاج 10 عمال بالمعدل نفسه؟

التدريب الثالث

إذا كان y يتناسب طرديًا مع x، وكان y = 18 عندما x = 3، فما قيمة y عندما x = 8؟

التدريب الرابع

إذا كان y يتناسب عكسيًا مع x، وكان y = 20 عندما x = 6، فما قيمة y عندما x = 15؟

التدريب الخامس

سيارة تقطع مسافة معينة في 8 ساعات بسرعة 75 كم/ساعة. كم ساعة تحتاج إذا أصبحت السرعة 100 كم/ساعة؟

التدريب السادس

إذا كانت العلاقة بين x وy طردية، وكان x = 5 وy = 35، فما قيمة y عندما x = 12؟

التدريب السابع

إذا كانت العلاقة عكسية وكان x = 4 وy = 18، فما قيمة y عندما x = 12؟

إجابات التدريبات

• التدريب الأول: 105 ريالات.
• التدريب الثاني: 12 يومًا.
• التدريب الثالث: 48.
• التدريب الرابع: 8.
• التدريب الخامس: 6 ساعات.
• التدريب السادس: 84.
• التدريب السابع: 6.

خطة تدريب على التغير الطردي والعكسي

ابدأ بتدريب نفسك على التمييز بين نوعي العلاقة قبل محاولة حل الأسئلة المركبة.

1. احفظ شكل العلاقة الطردية y=kx.
2. احفظ شكل العلاقة العكسية xy=k.
3. تدرب على إيجاد ثابت التناسب.
4. حل مسائل الجداول.
5. حل مسائل السعر والكمية.
6. حل مسائل العمال والزمن.
7. حل مسائل السرعة والزمن مع ثبات المسافة.
8. تدرب على الأسئلة التي تحتاج إلى أكثر من خطوة.

نصائح مهمة للاختبار

• لا تعتمد على كلمة واحدة في السؤال؛ افهم العلاقة بين المتغيرات.
• في العلاقة الطردية راقب ثبات النسبة.
• في العلاقة العكسية راقب ثبات حاصل الضرب.
• إذا تضاعف متغير في العلاقة الطردية، تضاعف الآخر.
• إذا تضاعف متغير في العلاقة العكسية، ينخفض الآخر إلى النصف.
• تحقق من الشروط قبل استخدام التناسب العكسي.
• استخدم عامل التغير بدل الحساب الطويل عندما يكون واضحًا.

أسئلة شائعة عن التغير الطردي والعكسي

ما هو التغير الطردي؟

هو علاقة يكون فيها المتغيران متناسبين بحيث تكون نسبة أحدهما إلى الآخر ثابتة، ويمكن تمثيلها بـ y=kx.

ما هو التغير العكسي؟

هو علاقة يكون فيها حاصل ضرب المتغيرين ثابتًا، ويمكن تمثيلها بـ xy=k.

كيف أميز بينهما بسرعة؟

في الطردي احسب y/x، وفي العكسي احسب xy. إذا كان الثابت محفوظًا في الحالات المعطاة، فقد حددت نوع العلاقة.

هل زيادة أحد المتغيرين تعني دائمًا انخفاض الآخر؟

لا. يجب أن تكون هناك علاقة رياضية محددة. في التغير العكسي البسيط ينخفض أحد المتغيرين عند زيادة الآخر مع ثبات حاصل الضرب.

هل السرعة والزمن دائمًا متناسبان عكسيًا؟

يكونان عكسيين عندما تكون المسافة ثابتة، لأن حاصل ضرب السرعة في الزمن يساوي المسافة.

هل عدد العمال والزمن دائمًا متناسبان عكسيًا؟

يكون ذلك في النموذج البسيط عندما تكون كمية العمل ومعدل إنجاز كل عامل والظروف ثابتة.

طبّق مهارات التناسب في أسئلة القدرات

بعد فهم الفرق بين التغير الطردي والعكسي، طبّق القوانين على مسائل متنوعة في القسم الكمي من خلال نماذج التناسب والعلاقات بين الكميات في اختبارات القدرات.

الخلاصة

التغير الطردي والعكسي من الأفكار التي تصبح سهلة جدًا عندما تتعرف على الثابت الذي يحكم العلاقة. في التغير الطردي تكون النسبة y/x ثابتة، بينما في التغير العكسي يكون حاصل الضرب xy ثابتًا.

في المسائل العملية، يظهر التغير الطردي مثل العلاقة بين السعر والكمية عند ثبات سعر الوحدة، أو بين المسافة والزمن عند ثبات السرعة. ويظهر التغير العكسي مثل العلاقة بين السرعة والزمن عند ثبات المسافة، أو بين عدد العمال والزمن عند ثبات كمية العمل ومعدل الإنجاز.

وفي اختبار القدرات، أفضل طريقة للتعامل مع هذه الأسئلة هي تحديد المتغيرات، وفهم اتجاه العلاقة، ثم استخدام الثابت المناسب أو عامل التغير بدل الدخول في حسابات طويلة. ومع التدريب، ستتمكن من التعرف على نوع العلاقة وحل السؤال بسرعة أكبر.