النسبة والتغير النسبي في اختبار القدرات: شرح شامل للقوانين والأمثلة وطرق الحل

تُعد النسبة والتغير النسبي من المهارات الحسابية المهمة في القسم الكمي في اختبار القدرات، لأنهما يدخلان في عدد كبير من المسائل التي تتعلق بالأسعار والكميات والدرجات والمسافات والإنتاج والسكان والبيانات والجداول.

قد يبدو السؤال بسيطًا عندما يقول إن قيمة ارتفعت أو انخفضت، لكن الخطأ الشائع هو الخلط بين مقدار التغير ونسبة التغير. فمثلًا إذا ارتفع عدد من 50 إلى 60، فإن مقدار الزيادة هو 10، بينما نسبة الزيادة هي 20%.

في هذا المقال سنشرح مفهوم النسبة والتغير النسبي من البداية، ونوضح الفرق بين التغير المطلق والتغير النسبي، ونتعلم كيفية حساب نسبة الزيادة والنقصان، وكيفية التعامل مع المسائل المركبة، مع أمثلة محلولة وتدريبات واستراتيجيات مناسبة لاختبار القدرات.

ما المقصود بالتغير؟

التغير هو الفرق بين القيمة الجديدة والقيمة الأصلية.

إذا كانت لدينا قيمة أصلية تساوي 80، ثم أصبحت القيمة الجديدة 95، فإن مقدار التغير هو:

95 - 80 = 15

إذن حدثت زيادة مقدارها 15.

أما إذا انخفضت القيمة من 80 إلى 65:

65 - 80 = -15

وهذا يعني أن هناك نقصانًا مقداره 15.

التغير المطلق

التغير المطلق هو مقدار الفرق بين القيمة الجديدة والقيمة الأصلية، ويمكن التعبير عنه بالقيمة الموجبة للفرق عندما يكون المطلوب مقدار التغير فقط.

القانون الأساسي:

التغير = القيمة الجديدة - القيمة الأصلية

مثال

ارتفع عدد الطلاب من 200 إلى 240.

التغير:

240 - 200 = 40

إذن زاد عدد الطلاب بمقدار 40 طالبًا.

ما المقصود بالتغير النسبي؟

التغير النسبي يقارن مقدار التغير بالقيمة الأصلية.

القانون:

التغير النسبي = (القيمة الجديدة - القيمة الأصلية) ÷ القيمة الأصلية

ولتحويله إلى نسبة مئوية:

نسبة التغير = [(القيمة الجديدة - القيمة الأصلية) ÷ القيمة الأصلية] × 100

هذه من أهم العلاقات التي يجب فهمها جيدًا في أسئلة القدرات.

مثال أساسي على التغير النسبي

ارتفع سعر منتج من 100 إلى 120.

أولًا نحسب مقدار الزيادة:

120 - 100 = 20

ثم نقسم على القيمة الأصلية:

20 ÷ 100 = 0.2

نحول إلى نسبة مئوية:

0.2 × 100 = 20%

إذن نسبة الزيادة هي 20%.

قاعدة مهمة جدًا

في حساب التغير النسبي، يكون المقام هو القيمة الأصلية.

هذه القاعدة من أكثر النقاط أهمية لأن كثيرًا من الأخطاء تأتي من وضع القيمة الجديدة في المقام.

إذا تغيرت القيمة من 50 إلى 60:

نسبة التغير = 10 ÷ 50 = 20%

وليس:

10 ÷ 60

الفرق بين مقدار الزيادة ونسبة الزيادة

إذا ارتفع السعر من 80 إلى 100:

مقدار الزيادة:

100 - 80 = 20

نسبة الزيادة:

20 ÷ 80 × 100 = 25%

إذن:

• مقدار الزيادة = 20.
• نسبة الزيادة = 25%.

لا تخلط بين الرقمين.

نسبة النقصان

إذا انخفضت قيمة من 200 إلى 150، فإن مقدار النقصان:

200 - 150 = 50

ونسبة النقصان:

50 ÷ 200 × 100 = 25%

إذن القيمة انخفضت بنسبة 25%.

صيغة عامة للزيادة

إذا كانت القيمة الأصلية هي A ونسبة الزيادة هي r، فإن القيمة الجديدة:

القيمة الجديدة = A(1 + r)

حيث تكتب النسبة العشرية بدل النسبة المئوية.

مثلًا إذا كانت الزيادة 20%:

r = 0.20

إذن:

القيمة الجديدة = A × 1.20

مثال

سعر منتج 250 ريالًا وزاد بنسبة 20%.

السعر الجديد:

250 × 1.20 = 300

إذن السعر الجديد هو 300 ريال.

صيغة عامة للنقصان

إذا انخفضت قيمة بنسبة r، فإن:

القيمة الجديدة = A(1 - r)

إذا كان النقصان 20%:

القيمة الجديدة = A × 0.80

مثال

سعر منتج 500 ريال وانخفض بنسبة 20%.

السعر الجديد:

500 × 0.80 = 400

إذن السعر بعد التخفيض هو 400 ريال.

النسبة بين قيمتين

يجب التفريق بين سؤالين:

• ما نسبة القيمة الأولى إلى الثانية؟
• ما نسبة التغير من القيمة الأولى إلى الثانية؟

إذا كانت القيمة الأولى 40 والثانية 50:

النسبة بينهما يمكن أن تكون:

40 : 50 = 4 : 5

أما نسبة الزيادة من 40 إلى 50 فهي:

10 ÷ 40 × 100 = 25%

إذن النسبة والتغير النسبي مفهومان مختلفان.

لماذا القيمة الأصلية مهمة؟

لأن التغير النسبي يقيس حجم التغير مقارنة بنقطة البداية.

إذا ارتفع عدد من 10 إلى 20، فالزيادة 10، لكن نسبة الزيادة:

10 ÷ 10 × 100 = 100%

أما إذا ارتفع عدد من 100 إلى 110، فالزيادة أيضًا 10، لكن:

10 ÷ 100 × 100 = 10%

إذن نفس الزيادة العددية لا تعني نفس نسبة التغير.

مثال مهم في القدرات

ارتفع عدد الطلاب في مدرسة من 400 إلى 500. ما نسبة الزيادة؟

الزيادة:

500 - 400 = 100

نسبة الزيادة:

100 ÷ 400 × 100 = 25%

الإجابة: 25%.

مثال على النقصان

انخفض إنتاج مصنع من 800 وحدة إلى 680 وحدة. ما نسبة النقصان؟

مقدار النقصان:

800 - 680 = 120

نسبة النقصان:

120 ÷ 800 × 100 = 15%

إذن نسبة النقصان هي 15%.

التغير النسبي عندما تكون القيمة الجديدة أكبر

إذا كانت القيمة الجديدة أكبر من الأصلية، يكون التغير النسبي موجبًا.

مثل:

100 → 130

التغير:

30

التغير النسبي:

30/100 = 0.30 = 30%

التغير النسبي عندما تكون القيمة الجديدة أصغر

إذا كانت القيمة الجديدة أصغر من الأصلية، يكون التغير النسبي سالبًا إذا استخدمنا القانون بالإشارة.

مثل:

100 → 70

التغير:

70 - 100 = -30

التغير النسبي:

-30/100 = -0.30

أي تغير مقداره -30%، أو نقول إن القيمة انخفضت بنسبة 30%.

التحويل بين النسبة المئوية والكسر العشري

من المهم في مسائل التغير النسبي أن تعرف التحويل بين النسبة المئوية والعدد العشري.

• 10% = 0.10
• 15% = 0.15
• 20% = 0.20
• 25% = 0.25
• 50% = 0.50
• 75% = 0.75
• 100% = 1

للتحويل من النسبة المئوية إلى عدد عشري نقسم على 100.

النسبة المئوية ككسر

يمكن أيضًا كتابة النسبة المئوية على صورة كسر.

مثلًا:

25% = 25/100 = 1/4

و:

20% = 20/100 = 1/5

وهذه الطريقة قد تجعل بعض الحسابات أسرع.

زيادة بنسبة معينة ثم إيجاد القيمة الجديدة

إذا كان عدد السكان 2000 وزاد بنسبة 15%، فإن الزيادة:

2000 × 0.15 = 300

والقيمة الجديدة:

2000 + 300 = 2300

أو مباشرة:

2000 × 1.15 = 2300

نقصان بنسبة معينة ثم إيجاد القيمة الجديدة

إذا كان عدد المنتجات 600 وانخفض بنسبة 15%:

مقدار النقصان:

600 × 0.15 = 90

القيمة الجديدة:

600 - 90 = 510

أو:

600 × 0.85 = 510

إيجاد القيمة الأصلية من القيمة الجديدة

أحيانًا يعطيك السؤال القيمة الجديدة ونسبة التغير ويطلب القيمة الأصلية.

إذا زادت القيمة بنسبة 20% وأصبحت 360، فإن:

القيمة الجديدة = القيمة الأصلية × 1.20

إذن:

القيمة الأصلية = 360 ÷ 1.20

= 300

إذن القيمة الأصلية كانت 300.

مثال على إيجاد القيمة الأصلية بعد الخصم

بعد خصم 20% أصبح سعر منتج 240 ريالًا. ما السعر الأصلي؟

بعد الخصم يبقى 80% من السعر:

0.80 × السعر الأصلي = 240

إذن:

السعر الأصلي = 240 ÷ 0.80 = 300

إذن السعر الأصلي هو 300 ريال.

التغير النسبي في الدرجات

إذا ارتفعت درجة طالب من 60 إلى 72:

الزيادة:

72 - 60 = 12

نسبة الزيادة:

12 ÷ 60 × 100 = 20%

إذن الدرجة ارتفعت بنسبة 20%.

التغير النسبي في المسافة

إذا زادت المسافة من 80 كيلومترًا إلى 100 كيلومتر:

100 - 80 = 20

نسبة الزيادة:

20 ÷ 80 × 100 = 25%

إذن الزيادة النسبية تساوي 25%.

التغير النسبي في الكمية

إذا انخفضت كمية من 250 إلى 200:

مقدار النقصان:

250 - 200 = 50

نسبة النقصان:

50 ÷ 250 × 100 = 20%

إذن الكمية انخفضت بنسبة 20%.

الزيادة والنقصان المتتاليان

من أهم الأفكار التي يجب الانتباه إليها أن الزيادة بنسبة معينة ثم النقصان بالنسبة نفسها لا يعيدان القيمة إلى نقطة البداية دائمًا.

إذا زادت قيمة 100 بنسبة 20%:

100 × 1.20 = 120

ثم انخفضت 120 بنسبة 20%:

120 × 0.80 = 96

إذن القيمة النهائية هي 96 وليست 100.

السبب أن نسبة النقصان الثانية حُسبت من القيمة الجديدة 120، وليس من القيمة الأصلية 100.

مثال آخر على التغير المتتالي

زاد سعر منتج بنسبة 10% ثم زاد مرة أخرى بنسبة 10%.

إذا كان السعر الأصلي 200:

بعد الزيادة الأولى:

200 × 1.10 = 220

بعد الزيادة الثانية:

220 × 1.10 = 242

إذن السعر النهائي 242.

وهذا يعني أن الزيادة الكلية ليست 20% بالضبط، بل:

42 ÷ 200 × 100 = 21%

لماذا لا نجمع النسب دائمًا؟

في الزيادات المتتالية، النسبة الثانية تطبق على قيمة تغيرت بالفعل.

لذلك إذا زادت قيمة بنسبة 10% ثم 10%:

1.10 × 1.10 = 1.21

أي زيادة كلية قدرها 21%.

التغير النسبي بين فترتين

قد يعطي السؤال بيانات لسنتين ويطلب نسبة التغير.

إذا كانت المبيعات:

• السنة الأولى: 5000
• السنة الثانية: 5750

الزيادة:

5750 - 5000 = 750

نسبة الزيادة:

750 ÷ 5000 × 100 = 15%

التغير النسبي في الجداول

عند وجود جدول يحتوي على عدة قيم، لا تنظر إلى الفرق العددي فقط. حدد أولًا القيمة الأصلية التي ستستخدمها في المقام.

مثلًا إذا ارتفع عدد الموظفين من 120 إلى 150:

التغير = 30

التغير النسبي = 30/120 = 25%

أما إذا حدث التغير نفسه من 300 إلى 330، فإن:

30/300 = 10%

إذن الفرق العددي نفسه يمكن أن يمثل نسبًا مختلفة.

طريقة سريعة لحل مسائل التغير النسبي

1. حدد القيمة الأصلية.
2. حدد القيمة الجديدة.
3. احسب الفرق بينهما.
4. حدد هل التغير زيادة أم نقصان.
5. اقسم مقدار التغير على القيمة الأصلية.
6. اضرب في 100 إذا كان المطلوب نسبة مئوية.

اختصار مفيد في بعض الأسئلة

إذا كانت القيمة الأصلية 100، فإن مقدار التغير يساوي النسبة المئوية مباشرة.

مثلًا:

100 → 135

الزيادة = 35، وبالتالي نسبة الزيادة = 35%.

لكن إذا كانت القيمة الأصلية مختلفة عن 100، فلا تستخدم الفرق مباشرة كنسبة.

مثال على خطأ شائع

ارتفع السعر من 80 إلى 100.

قد يقول الطالب إن الزيادة 20% لأن الفرق هو 20.

لكن هذا خطأ.

الزيادة هي 20، أما النسبة فهي:

20 ÷ 80 × 100 = 25%

إذن الإجابة الصحيحة هي 25%.

أسئلة محلولة على النسبة والتغير النسبي

السؤال الأول

ارتفع عدد من 40 إلى 50. ما نسبة الزيادة؟

الزيادة:

50 - 40 = 10

النسبة:

10 ÷ 40 × 100 = 25%

الإجابة: 25%

السؤال الثاني

انخفض سعر من 300 إلى 240. ما نسبة النقصان؟

النقصان:

300 - 240 = 60

النسبة:

60 ÷ 300 × 100 = 20%

الإجابة: 20%

السؤال الثالث

زاد عدد الطلاب بنسبة 25%، وكان العدد الأصلي 400. ما العدد الجديد؟

مقدار الزيادة:

400 × 0.25 = 100

العدد الجديد:

400 + 100 = 500

الإجابة: 500

السؤال الرابع

انخفض سعر منتج بنسبة 30% من سعر أصلي مقداره 700. ما السعر الجديد؟

المتبقي هو 70%:

700 × 0.70 = 490

الإجابة: 490

السؤال الخامس

بعد زيادة 20% أصبح عدد الطلاب 360. ما العدد الأصلي؟

نكتب:

1.20 × العدد الأصلي = 360

إذن:

العدد الأصلي = 360 ÷ 1.20 = 300

الإجابة: 300

السؤال السادس

ارتفعت قيمة من 80 إلى 100. ما نسبة التغير؟

التغير:

20

نسبة التغير:

20 ÷ 80 × 100 = 25%

الإجابة: 25%

السؤال السابع

ارتفعت قيمة 100 بنسبة 30% ثم انخفضت بنسبة 30%. ما القيمة النهائية؟

بعد الزيادة:

100 × 1.30 = 130

بعد النقصان:

130 × 0.70 = 91

الإجابة: 91

تدريبات إضافية

التدريب الأول

ارتفع عدد من 60 إلى 75. أوجد نسبة الزيادة.

التدريب الثاني

انخفض عدد من 500 إلى 425. أوجد نسبة النقصان.

التدريب الثالث

زاد سعر منتج قيمته 800 بنسبة 15%. أوجد السعر الجديد.

التدريب الرابع

انخفض عدد من 1200 بنسبة 25%. أوجد القيمة الجديدة.

التدريب الخامس

بعد زيادة 25% أصبحت قيمة ما تساوي 500. أوجد القيمة الأصلية.

التدريب السادس

ارتفعت قيمة من 200 إلى 260. أوجد نسبة التغير.

التدريب السابع

زادت قيمة 400 بنسبة 10% ثم انخفضت بنسبة 10%. أوجد القيمة النهائية.

إجابات التدريبات

• التدريب الأول: 25%.
• التدريب الثاني: 15%.
• التدريب الثالث: 920.
• التدريب الرابع: 900.
• التدريب الخامس: 400.
• التدريب السادس: 30%.
• التدريب السابع: 396.

أخطاء شائعة في مسائل النسبة والتغير النسبي

1. استخدام القيمة الجديدة في المقام

إذا تغيرت القيمة من 100 إلى 120، فالمقام هو 100 وليس 120.

2. اعتبار الفرق هو النسبة

إذا ارتفعت القيمة من 80 إلى 100، فالفرق 20، لكن نسبة الزيادة 25%.

3. جمع نسب الزيادة المتتالية مباشرة

زيادة 10% ثم 10% تعطي زيادة كلية 21%، وليس 20%.

4. نسيان تحديد اتجاه التغير

الانتقال من 100 إلى 80 يعني نقصانًا، وليس زيادة سالبة فقط من ناحية صياغة السؤال.

5. استخدام النسبة الأصلية بدل الجديدة في المسألة الثانية

في التغيرات المتتالية، كل نسبة تطبق على القيمة الموجودة في تلك المرحلة.

كيف تتعامل مع أسئلة النسبة في الاختبار؟

عندما ترى عبارة مثل "زاد بنسبة" أو "انخفض بنسبة"، لا تبدأ بالحساب مباشرة. حدد أولًا القيمة التي تمثل نقطة البداية.

إذا قال السؤال:

ارتفع السعر من 200 إلى 240

فالقيمة الأصلية هي 200.

أما إذا قال:

انخفض السعر من 240 إلى 200

فالقيمة الأصلية هي 240.

نفس القيمتين يمكن أن تعطيَا نسبتين مختلفتين حسب اتجاه التغير.

مثال يوضح اختلاف الاتجاه

من 100 إلى 120:

20 ÷ 100 = 20%

لكن من 120 إلى 100:

20 ÷ 120 ≈ 16.67%

إذن نسبة الزيادة من 100 إلى 120 ليست مساوية لنسبة النقصان من 120 إلى 100.

خطة تدريب على النسبة والتغير النسبي

لإتقان هذا الموضوع، تدرب بالترتيب التالي:

1. تحويل النسب المئوية إلى كسور وأعداد عشرية.
2. حساب مقدار الزيادة والنقصان.
3. حساب نسبة التغير.
4. إيجاد القيمة الجديدة بعد زيادة أو نقصان.
5. إيجاد القيمة الأصلية من القيمة الجديدة.
6. التعامل مع الزيادات والنقصانات المتتالية.
7. حل مسائل الجداول والبيانات.
8. حل أسئلة زمنية متنوعة تجمع النسبة مع موضوعات أخرى.

نصائح لتوفير الوقت

• حدد القيمة الأصلية قبل أي عملية حسابية.
• حوّل النسبة إلى عدد عشري عند استخدام معامل الضرب.
• في زيادة 20% استخدم ×1.20 مباشرة.
• في نقصان 20% استخدم ×0.80 مباشرة.
• استفد من الكسور البسيطة مثل 25% = 1/4.
• لا تجمع نسب التغير المتتالية إلا إذا كان السؤال يسمح بذلك.
• راجع هل المطلوب مقدار التغير أم نسبته.

أسئلة شائعة عن النسبة والتغير النسبي

ما هو قانون التغير النسبي؟

التغير النسبي يساوي الفرق بين القيمة الجديدة والقيمة الأصلية مقسومًا على القيمة الأصلية.

كيف أحسب نسبة الزيادة؟

احسب مقدار الزيادة، ثم اقسمه على القيمة الأصلية واضرب في 100.

كيف أحسب نسبة النقصان؟

احسب مقدار النقصان، ثم اقسمه على القيمة الأصلية واضرب في 100.

هل نسبة الزيادة والنقصان المتساويتين تعيدان القيمة الأصلية؟

لا. إذا زادت القيمة بنسبة معينة ثم انخفضت بالنسبة نفسها، فإن النسبة الثانية تطبق على قيمة جديدة، ولذلك لا تعود القيمة عادة إلى الأصل.

ما الفرق بين التغير والتغير النسبي؟

التغير هو الفرق العددي بين القيمتين، بينما التغير النسبي يقارن هذا الفرق بالقيمة الأصلية.

ما أهم خطأ يجب تجنبه؟

أهم خطأ هو استخدام القيمة الجديدة بدل القيمة الأصلية في مقام نسبة التغير.

طبّق مهارات النسب في أسئلة القدرات

بعد فهم القوانين، انتقل إلى التدريب العملي على مسائل النسب والتغيرات والقسم الكمي من خلال تدريبات النسب والتغير في اختبارات القدرات.

الخلاصة

النسبة والتغير النسبي من المهارات الأساسية التي تتكرر أفكارها في العديد من مسائل القسم الكمي. وأهم نقطة يجب تذكرها هي أن نسبة التغير تعتمد على القيمة الأصلية، وليس على القيمة الجديدة.

لحساب نسبة الزيادة أو النقصان، احسب الفرق أولًا، ثم اقسم مقدار التغير على القيمة الأصلية واضرب في 100. وعند التعامل مع قيمة جديدة بعد زيادة أو نقصان، يمكن استخدام معاملات مثل 1.20 للزيادة بنسبة 20% أو 0.80 للنقصان بنسبة 20%.

كما يجب الانتباه إلى التغيرات المتتالية، لأن كل نسبة تطبق على القيمة الموجودة في تلك المرحلة. ومع التدريب على هذه الأنماط، ستصبح مسائل النسبة والتغير النسبي من الأسئلة التي يمكن حلها بسرعة ودقة في اختبار القدرات.