الخصم والزيادة المتتالية من الموضوعات التي تختبر فهم النسبة المئوية بصورة عملية. أهم فكرة هي أن النسبة الثانية تطبق على القيمة الجديدة، وليس على القيمة الأصلية دائمًا.
الخصم المباشر
إذا كان السعر س والخصم ر، فالسعر بعد الخصم = س×(1-ر).
خصم 20% يعني أن المتبقي 80% من السعر.
مثال
سعر سلعة 500 ريال وخصمها 20%. السعر الجديد = 500×0.8 = 400 ريال.
الزيادة المباشرة
بعد زيادة 15% تصبح القيمة = القيمة الأصلية × 1.15.
إذا كان الراتب 4000 ريال، فالزيادة 15% تعني 4600 ريال.
الخصمان المتتاليان
إذا كان هناك خصم 20% ثم 10%، لا تجمعهما لتقول إن الخصم 30% بطريقة مباشرة. بعد الخصم الأول يبقى 80%، ثم يبقى 90% من القيمة الجديدة، فيصبح العامل 0.8×0.9=0.72، أي أن الخصم الكلي 28%.
زيادتان متتاليتان
زيادة 10% ثم 20% تعني 1.1×1.2=1.32، أي زيادة كلية 32% وليس 30%.
زيادة ثم خصم
إذا زادت قيمة 25% ثم انخفضت 20%، فالعامل = 1.25×0.8=1.00؛ أي عادت القيمة إلى الأصل.
طريقة المعامل
- زيادة ر%: اضرب في 1+r.
- خصم ر%: اضرب في 1-r.
- عدة تغيرات: اضرب المعاملات بالتتابع.
مثال مركب
سعر 800 ريال، زاد 10% ثم خُصم 10%. السعر = 800×1.1×0.9 = 792 ريالًا. إذن لم يعد إلى 800 لأن الزيادة والخصم طبقا على قيمتين مختلفتين.
أخطاء شائعة
- جمع نسب التغير المتتالي.
- تطبيق الخصم الثاني على الأصل بدل السعر الجديد.
- نسيان تحويل النسبة إلى معامل.
تدريبات
سعر 600 مع خصم 25% = 450.
1000 مع زيادة 20% ثم خصم 10% = 1080.
500 مع خصمين 10% و20% = 360.
تطبيق
طبّق هذه القاعدة على مسائل متنوعة في اختبارات القدرات الكمية في باب9.
أسئلة شائعة
هل خصم 20% ثم 10% يساوي 30%؟
لا، يساوي 28% في المثال العام لأن الخصم الثاني يطبق على القيمة بعد الخصم الأول.
هل التغيرات المتتالية تجمع؟
عادة لا؛ الأفضل استخدام معاملات الضرب.
ما أسرع طريقة؟
حوّل كل نسبة إلى معامل ثم اضرب المعاملات.
لماذا لا نجمع الخصومات المتتالية؟
عندما يكون السعر 100 ثم يخصم 20%، يصبح 80. إذا خصمنا 10% مرة ثانية فهذه النسبة تحسب من 80، أي 8، فيصبح السعر 72. لذلك الخصم الكلي 28% وليس 30%. السبب أن قاعدة النسبة الثانية تعمل على قيمة جديدة.
عامل التغيير
يمكن اختصار المسألة باستخدام عامل التغيير. زيادة 15% تعني الضرب في 1.15، وخصم 15% يعني الضرب في 0.85. عند وجود عدة تغييرات متتالية اضرب العوامل بدل إعادة حساب كل نسبة من الصفر.
مثال على تغيرين متعاكسين
سعر منتج 400 ريال. ارتفع 25% ثم انخفض 20%. بعد الزيادة يصبح 500، وبعد الخصم يصبح 400. في هذه الحالة عادت القيمة إلى الأصل لأن 1.25×0.80=1. أما زيادة 20% ثم خصم 20% فتعطي عاملًا 1.2×0.8=0.96، أي انخفاضًا نهائيًا قدره 4%.
استخدام التقدير
إذا كان السعر الأصلي 1000 وكان هناك خصمان، فمن المفيد تقدير النتيجة قبل الحساب. خصم 20% ثم 10% سيجعل السعر قريبًا من 720 إلى 800، وليس 500 أو 950. هذا التقدير يكشف الأخطاء الحسابية بسرعة عند أسئلة الاختيار من متعدد.
شرح أعمق للموضوع
عامل الزيادة والخصم
عامل الزيادة بنسبة ر هو 1+ر، وعامل الخصم بنسبة ر هو 1-ر بعد تحويل النسبة إلى عدد عشري. عند وجود تغييرات متعددة، اضرب العوامل بالتتابع.
المقارنة بين خصمين
خصم 20% ثم 10% ليس مثل خصم 30% مرة واحدة. الأول يعطي عامل 0.8×0.9=0.72، أي خصمًا فعليًا 28%. هذه المقارنة من الأفكار الشائعة في أسئلة النسب.
زيادة ثم خصم
إذا كانت النسب متساوية، فلا تعتقد أن القيمة تعود إلى الأصل. زيادة 20% ثم خصم 20% تعطي 1.2×0.8=0.96، أي انخفاضًا 4%.
استخراج السعر الأصلي
إذا كان السعر بعد خصم 20% يساوي 240، فـ240 يمثل 80% من الأصل، ولذلك الأصل = 240÷0.8=300. هذه الفكرة مهمة عندما يعطيك السؤال النتيجة ويطلب القيمة الأصلية.
تطبيقات إضافية وأسئلة بصياغات مختلفة
عند خصم 10% احتفظ بـ90% من القيمة.
عند زيادة 10% اضرب في 1.10.
عند تغييرات متتالية اضرب العوامل.
لا تجمع النسب إلا إذا كان ذلك مبررًا من صياغة السؤال.
لا تفترض أن زيادة ثم خصمًا متساويًا يعيدان القيمة.
إذا أعطيت القيمة النهائية، اقسم على عامل التغيير لاسترجاع الأصل.
ملاحظات تدريبية متقدمة
نقطة تدريبية 1
الخصم المتتالي هو تطبيق عامل بعد عامل. إذا كان الخصم الأول 30% والثاني 10%، فالعاملان 0.7 و0.9، والعامل النهائي 0.63، أي أن السعر المتبقي 63% من الأصل.
نقطة تدريبية 2
إذا كانت النتيجة النهائية معلومة بعد زيادة 25%، فاقسم على 1.25 لاستعادة القيمة الأصلية. القسمة على العامل أهم من طرح النسبة من القيمة النهائية.
نقطة تدريبية 3
إذا أصبح السعر 360 بعد خصم 10%، فهذا يعني أن 360 يمثل 90% من الأصل، والأصل 400. لا تضف 10% إلى 360 لاستعادة الأصل لأن 10% من 360 ليست 10% من الأصل.
نقطة تدريبية 4
الزيادة والخصم المتساويان لا يتلاشيان لأن قاعدة النسبة الثانية تعمل على قيمة مختلفة. هذه نقطة اختبار شائعة.
نقطة تدريبية 5
يمكن تحويل 15% إلى 0.15، أو إلى 15/100. اختر الشكل الذي يجعل الحساب أسرع.
نقطة تدريبية 6
إذا كان السعر 1000 وارتفع 8%، فالزيادة 80 والسعر 1080. إذا انخفض 8% بعد ذلك، فالخصم 86.4 والسعر 993.6.
نقطة تدريبية 7
في المقارنة بين طريقتين للخصم، احسب العامل النهائي بدل مقارنة النسب فقط. العامل الأصغر يعني سعرًا نهائيًا أقل.
نقطة تدريبية 8
إذا كانت الزيادة متكررة كل سنة، استخدم عاملًا متكررًا: القيمة النهائية = الأصل × العامل^عدد الفترات.
نقطة تدريبية 9
في الأسئلة التي لا تطلب القيمة الدقيقة، قد يكفي تقدير النتيجة. هذا مفيد عندما تكون الخيارات متباعدة.
نقطة تدريبية 10
راجع اتجاه التغير بعد كل خطوة. إذا طبقت خصمًا ووجدت أن السعر زاد، فهناك خطأ في الإشارة أو العامل.
تدريب مكثف على المهارة
تدريب ومراجعة 1
الخصم المتتالي هو تطبيق عامل بعد عامل. إذا كان الخصم الأول 30% والثاني 10%، فالعاملان 0.7 و0.9، والعامل النهائي 0.63، أي أن السعر المتبقي 63% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 2
إذا كانت النتيجة النهائية معلومة بعد زيادة 25%، فاقسم على 1.25 لاستعادة القيمة الأصلية. القسمة على العامل أهم من طرح النسبة من القيمة النهائية.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 3
إذا أصبح السعر 360 بعد خصم 10%، فهذا يعني أن 360 يمثل 90% من الأصل، والأصل 400. لا تضف 10% إلى 360 لاستعادة الأصل لأن 10% من 360 ليست 10% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 4
الزيادة والخصم المتساويان لا يتلاشيان لأن قاعدة النسبة الثانية تعمل على قيمة مختلفة. هذه نقطة اختبار شائعة.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 5
يمكن تحويل 15% إلى 0.15، أو إلى 15/100. اختر الشكل الذي يجعل الحساب أسرع.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 6
إذا كان السعر 1000 وارتفع 8%، فالزيادة 80 والسعر 1080. إذا انخفض 8% بعد ذلك، فالخصم 86.4 والسعر 993.6.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 7
في المقارنة بين طريقتين للخصم، احسب العامل النهائي بدل مقارنة النسب فقط. العامل الأصغر يعني سعرًا نهائيًا أقل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 8
إذا كانت الزيادة متكررة كل سنة، استخدم عاملًا متكررًا: القيمة النهائية = الأصل × العامل^عدد الفترات.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 9
في الأسئلة التي لا تطلب القيمة الدقيقة، قد يكفي تقدير النتيجة. هذا مفيد عندما تكون الخيارات متباعدة.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 10
راجع اتجاه التغير بعد كل خطوة. إذا طبقت خصمًا ووجدت أن السعر زاد، فهناك خطأ في الإشارة أو العامل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 11
الخصم المتتالي هو تطبيق عامل بعد عامل. إذا كان الخصم الأول 30% والثاني 10%، فالعاملان 0.7 و0.9، والعامل النهائي 0.63، أي أن السعر المتبقي 63% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 12
إذا كانت النتيجة النهائية معلومة بعد زيادة 25%، فاقسم على 1.25 لاستعادة القيمة الأصلية. القسمة على العامل أهم من طرح النسبة من القيمة النهائية.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 13
إذا أصبح السعر 360 بعد خصم 10%، فهذا يعني أن 360 يمثل 90% من الأصل، والأصل 400. لا تضف 10% إلى 360 لاستعادة الأصل لأن 10% من 360 ليست 10% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 14
الزيادة والخصم المتساويان لا يتلاشيان لأن قاعدة النسبة الثانية تعمل على قيمة مختلفة. هذه نقطة اختبار شائعة.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 15
يمكن تحويل 15% إلى 0.15، أو إلى 15/100. اختر الشكل الذي يجعل الحساب أسرع.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 16
إذا كان السعر 1000 وارتفع 8%، فالزيادة 80 والسعر 1080. إذا انخفض 8% بعد ذلك، فالخصم 86.4 والسعر 993.6.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 17
في المقارنة بين طريقتين للخصم، احسب العامل النهائي بدل مقارنة النسب فقط. العامل الأصغر يعني سعرًا نهائيًا أقل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 18
إذا كانت الزيادة متكررة كل سنة، استخدم عاملًا متكررًا: القيمة النهائية = الأصل × العامل^عدد الفترات.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 19
في الأسئلة التي لا تطلب القيمة الدقيقة، قد يكفي تقدير النتيجة. هذا مفيد عندما تكون الخيارات متباعدة.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 20
راجع اتجاه التغير بعد كل خطوة. إذا طبقت خصمًا ووجدت أن السعر زاد، فهناك خطأ في الإشارة أو العامل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 21
الخصم المتتالي هو تطبيق عامل بعد عامل. إذا كان الخصم الأول 30% والثاني 10%، فالعاملان 0.7 و0.9، والعامل النهائي 0.63، أي أن السعر المتبقي 63% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 22
إذا كانت النتيجة النهائية معلومة بعد زيادة 25%، فاقسم على 1.25 لاستعادة القيمة الأصلية. القسمة على العامل أهم من طرح النسبة من القيمة النهائية.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 23
إذا أصبح السعر 360 بعد خصم 10%، فهذا يعني أن 360 يمثل 90% من الأصل، والأصل 400. لا تضف 10% إلى 360 لاستعادة الأصل لأن 10% من 360 ليست 10% من الأصل.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
تدريب ومراجعة 24
الزيادة والخصم المتساويان لا يتلاشيان لأن قاعدة النسبة الثانية تعمل على قيمة مختلفة. هذه نقطة اختبار شائعة.
عند تطبيق هذه الفكرة في الخصم والزيادة المتتالية، لا تعتمد على حفظ النتيجة النهائية. ركّز على تحديد المعطيات، ثم اختيار العلاقة المناسبة، ثم تنفيذ الحساب، وأخيرًا مراجعة الإجابة. إذا اختلفت صياغة السؤال، ستظل الطريقة نفسها صالحة لأنك تفهم أصل العلاقة وليس شكل السؤال فقط.
الخلاصة
قاعدة الخصم والزيادة المتتالية بسيطة: الزيادة تضرب في معامل أكبر من 1، والخصم في معامل أقل من 1، وكل تغير جديد يطبق على القيمة الناتجة من التغير السابق.