تُعد المعادلات التربيعية في اختبار القدرات من الموضوعات الجبرية التي تجمع بين التعامل مع المتغيرات والأسس والتحليل والعمليات الحسابية. وفهم طريقة التعرف على المعادلة التربيعية واختيار طريقة الحل المناسبة يساعدك على اختصار الوقت وتقليل الأخطاء.
المعادلة التربيعية تظهر عادة عندما يكون أعلى أس للمتغير هو 2، مثل:
x² + 5x + 6 = 0
أو:
2x² - 7x + 3 = 0
في هذا المقال سنتعرف على مفهوم المعادلة التربيعية، والصورة القياسية، وطرق الحل بالتحليل والقانون العام وإكمال المربع، بالإضافة إلى المميز والجذور والأمثلة والأسئلة التدريبية.
ما هي المعادلة التربيعية؟
المعادلة التربيعية هي معادلة يكون أعلى أس للمتغير فيها هو 2، ويمكن كتابتها بالصورة:
ax² + bx + c = 0
بشرط أن:
a ≠ 0
حيث:
- a هو معامل x².
- b هو معامل x.
- c هو الحد الثابت.
مثال:
3x² + 5x - 2 = 0
هنا:
a = 3
b = 5
c = -2
كيف أتعرف على المعادلة التربيعية؟
ابحث عن وجود المتغير مرفوعًا للأس 2، وتأكد أن أعلى درجة في المعادلة هي 2.
مثل:
x² + 4x + 4 = 0
هذه معادلة تربيعية.
أما:
3x + 7 = 0
فهي معادلة خطية وليست تربيعية.
وكذلك:
x³ + 2x = 0
ليست تربيعية لأن أعلى درجة فيها 3.
الصورة القياسية للمعادلة التربيعية
الصورة القياسية هي:
ax² + bx + c = 0
من المهم نقل جميع الحدود إلى طرف واحد قبل تطبيق بعض طرق الحل.
مثال:
x² + 3x = 10
ننقل 10 للطرف الآخر:
x² + 3x - 10 = 0
الآن أصبحت المعادلة في الصورة القياسية.
مكونات المعادلة التربيعية
في المعادلة:
2x² - 7x + 3 = 0
لدينا:
a = 2
b = -7
c = 3
انتبه إلى أن إشارة العدد جزء من قيمته.
الطريقة الأولى: الحل بالتحليل
إذا كانت المعادلة سهلة التحليل، فإن التحليل غالبًا يكون أسرع طريقة للحل.
مثال:
x² + 5x + 6 = 0
نبحث عن عددين حاصل ضربهما 6 ومجموعهما 5.
العددان هما:
2 و3
إذن:
(x + 2)(x + 3) = 0
وبالتالي:
x + 2 = 0
أو:
x + 3 = 0
إذن:
x = -2
أو:
x = -3
لماذا نساوي كل عامل بالصفر؟
إذا كان حاصل ضرب عددين يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحدهما على الأقل صفرًا.
لذلك:
(x + 2)(x + 3) = 0
تعني:
x + 2 = 0
أو:
x + 3 = 0
مثال على معادلة تربيعية بسيطة
حل:
x² - 7x + 12 = 0
نبحث عن عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما -7.
العددان:
-3 و-4
إذن:
(x - 3)(x - 4) = 0
فتكون الحلول:
x = 3
أو:
x = 4
معادلة تحتوي على حد ثابت سالب
حل:
x² + x - 12 = 0
نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما -12 ومجموعهما 1.
العددان هما:
4 و-3
إذن:
(x + 4)(x - 3) = 0
ومن ثم:
x = -4
أو:
x = 3
الطريقة الثانية: أخذ العامل المشترك
أحيانًا يمكن حل المعادلة بسهولة من خلال استخراج عامل مشترك.
مثال:
x² + 4x = 0
نخرج x:
x(x + 4) = 0
إذن:
x = 0
أو:
x + 4 = 0
فتكون:
x = 0
أو:
x = -4
مثال آخر على العامل المشترك
حل:
3x² - 12x = 0
نخرج 3x:
3x(x - 4) = 0
إذن:
x = 0
أو:
x - 4 = 0
وبالتالي:
x = 0 أو x = 4
الطريقة الثالثة: القانون العام
إذا كانت المعادلة:
ax² + bx + c = 0
فإن الحل يعطى بالقانون:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
يسمى هذا القانون العام للمعادلة التربيعية.
متى نستخدم القانون العام؟
يمكن استخدامه عندما يكون التحليل صعبًا أو غير واضح، كما أنه طريقة عامة يمكن تطبيقها على أي معادلة تربيعية لها حلول حقيقية أو مركبة وفق طبيعة المميز.
في أسئلة القدرات، لا تبدأ بالقانون العام تلقائيًا إذا كانت المعادلة سهلة التحليل؛ افحص أولًا وجود طريقة مختصرة.
مثال على القانون العام
حل:
2x² + 3x - 2 = 0
نحدد:
a = 2
b = 3
c = -2
نطبق القانون:
x = (-3 ± √(3² - 4(2)(-2))) / 4
داخل الجذر:
9 + 16 = 25
إذن:
x = (-3 ± 5) / 4
الحل الأول:
x = 2/4 = 1/2
والحل الثاني:
x = -8/4 = -2
إذن الحلول:
x = 1/2
و:
x = -2
المميز في المعادلة التربيعية
المميز هو الجزء الموجود تحت الجذر في القانون العام:
Δ = b² - 4ac
ويساعد على تحديد عدد الجذور الحقيقية.
إذا كان المميز أكبر من صفر
إذا:
Δ > 0
فإن المعادلة لها جذران حقيقيان مختلفان.
إذا كان المميز يساوي صفرًا
إذا:
Δ = 0
فإن المعادلة لها جذر حقيقي مكرر.
إذا كان المميز أقل من صفر
إذا:
Δ < 0
فلا توجد جذور حقيقية.
مثال على المميز الموجب
للمعادلة:
x² - 5x + 6 = 0
لدينا:
a = 1
b = -5
c = 6
إذن:
Δ = (-5)² - 4(1)(6)
= 25 - 24
= 1
بما أن المميز موجب، فهناك جذران حقيقيان مختلفان.
مثال على المميز الذي يساوي صفرًا
المعادلة:
x² - 6x + 9 = 0
المميز:
Δ = (-6)² - 4(1)(9)
= 36 - 36
= 0
إذن يوجد جذر حقيقي مكرر.
وبالتحليل:
(x - 3)² = 0
إذن:
x = 3
الطريقة الرابعة: إكمال المربع
يمكن حل بعض المعادلات بإكمال المربع.
الفكرة الأساسية هي تحويل الجزء الجبري إلى مربع كامل.
مثال:
x² + 6x + 5 = 0
ننقل الثابت:
x² + 6x = -5
نضيف 9 إلى الطرفين لأن:
نصف 6 هو 3، ومربعه 9.
إذن:
x² + 6x + 9 = 4
نكتب الطرف الأيسر:
(x + 3)² = 4
نأخذ الجذر:
x + 3 = ±2
إذن:
x = -1
أو:
x = -5
متى يكون إكمال المربع مفيدًا؟
إكمال المربع مفيد لفهم بنية المعادلة، وقد يكون مفيدًا عندما يظهر مربع كامل بصورة واضحة أو عندما يكون المطلوب الوصول إلى صيغة معينة.
لكن في أسئلة الاختيار من متعدد، قد يكون التحليل أو القانون العام أسرع حسب شكل السؤال.
المعادلات التربيعية الناقصة
ليست كل المعادلات التربيعية تحتوي على الحدود الثلاثة.
قد تكون على الصورة:
ax² + bx = 0
أو:
ax² + c = 0
المعادلة التربيعية من نوع ax² + bx = 0
مثال:
x² - 5x = 0
نخرج x:
x(x - 5) = 0
إذن:
x = 0
أو:
x = 5
المعادلة التربيعية من نوع ax² + c = 0
مثال:
x² - 16 = 0
نستخدم الفرق بين مربعين:
(x - 4)(x + 4) = 0
إذن:
x = 4
أو:
x = -4
المعادلات التي يكون فيها معامل x² أكبر من 1
مثال:
2x² + 7x + 3 = 0
نبحث عن تحليل مناسب:
(2x + 1)(x + 3) = 0
إذن:
2x + 1 = 0
أو:
x + 3 = 0
فتكون الحلول:
x = -1/2
و:
x = -3
طريقة التحليل بالتجميع
عندما يكون معامل x² أكبر من 1، يمكن أحيانًا استخدام التجميع.
مثال:
6x² + 11x + 3 = 0
نبحث عن تحليل:
(3x + 1)(2x + 3) = 0
إذن:
3x + 1 = 0
أو:
2x + 3 = 0
فتكون الحلول:
x = -1/3
و:
x = -3/2
مجموع الجذور وحاصل ضربها
للمعادلة:
ax² + bx + c = 0
إذا كان جذراها r₁ وr₂، فإن:
r₁ + r₂ = -b/a
و:
r₁r₂ = c/a
وهذه العلاقات قد توفر طريقة سريعة في بعض أسئلة القدرات.
مثال على مجموع الجذور
للمعادلة:
2x² - 8x + 5 = 0
مجموع الجذور:
-b/a = 8/2 = 4
ولا نحتاج إلى إيجاد الجذرين بشكل منفصل.
مثال على حاصل ضرب الجذور
للمعادلة نفسها:
2x² - 8x + 5 = 0
حاصل ضرب الجذور:
c/a = 5/2
متى تكون معرفة مجموع الجذور مفيدة؟
إذا كان السؤال يطلب مجموع الجذرين أو حاصل ضربهما، فلا حاجة إلى حل المعادلة كاملة.
مثلًا إذا أعطاك:
3x² + 7x - 4 = 0
وطلب مجموع الجذرين، مباشرة:
-7/3
وهذا يوفر وقتًا كبيرًا.
العلاقة بين الجذور والتحليل
إذا كانت المعادلة:
(x - r₁)(x - r₂) = 0
فإن الجذور هي:
r₁
و:
r₂
وعند توسيعها نحصل على:
x² - (r₁ + r₂)x + r₁r₂ = 0
ومن هنا تظهر علاقات مجموع الجذور وحاصل ضربها.
التحقق من الحل
بعد إيجاد قيمة x، يمكنك التحقق منها بالتعويض في المعادلة الأصلية.
مثلًا للمعادلة:
x² - 5x + 6 = 0
إذا كان x = 2:
4 - 10 + 6 = 0
إذن الحل صحيح.
أخطاء شائعة في المعادلات التربيعية
عدم تحويل المعادلة إلى صفر
قبل استخدام التحليل أو القانون العام، تأكد من أن المعادلة مكتوبة بالصورة:
ax² + bx + c = 0
الخطأ في إشارة b
في:
2x² - 5x + 3 = 0
القيمة b هي -5 وليست 5.
نسيان الحلين
غالبًا يكون للمعادلة التربيعية جذران، لذلك يجب الانتباه إلى إشارة ± في القانون العام.
اختيار طريقة طويلة لمسألة سهلة
إذا كانت المعادلة قابلة للتحليل بسهولة، فقد يكون التحليل أسرع من القانون العام.
الخطأ في الجذر التربيعي
عند حل:
x² = 25
لا تنس أن:
x = ±5
وليس 5 فقط.
كيف تختار طريقة الحل الأسرع؟
- انقل جميع الحدود إلى طرف واحد.
- افحص وجود عامل مشترك.
- افحص إمكانية استخدام الفرق بين مربعين.
- حاول التحليل إذا كانت الأعداد مناسبة.
- إذا كان التحليل غير واضح، استخدم القانون العام.
- إذا كان المطلوب مجموع الجذور أو حاصل ضربها، استخدم العلاقات المباشرة.
أسئلة تدريبية
السؤال الأول
حل:
x² + 7x + 12 = 0
نبحث عن عددين حاصل ضربهما 12 ومجموعهما 7:
3 و4.
إذن:
(x + 3)(x + 4) = 0
الإجابة: x = -3 أو x = -4
السؤال الثاني
حل:
x² - 9x + 20 = 0
العددان 4 و5:
(x - 4)(x - 5) = 0
الإجابة: x = 4 أو x = 5
السؤال الثالث
حل:
x² - 16 = 0
فرق مربعين:
(x - 4)(x + 4) = 0
الإجابة: x = 4 أو x = -4
السؤال الرابع
حل:
x² + 6x = 0
نخرج x:
x(x + 6) = 0
الإجابة: x = 0 أو x = -6
السؤال الخامس
للمعادلة:
3x² - 12x + 5 = 0
ما مجموع الجذرين؟
نستخدم:
-b/a
= 12/3
= 4
الإجابة: 4
السؤال السادس
للمعادلة:
4x² + 3x - 7 = 0
ما حاصل ضرب الجذرين؟
نستخدم:
c/a
= -7/4
الإجابة: -7/4
السؤال السابع
حل باستخدام القانون العام:
x² - 2x - 8 = 0
لدينا:
a = 1
b = -2
c = -8
المميز:
4 + 32 = 36
إذن:
x = (2 ± 6) / 2
الحلان:
x = 4
و:
x = -2
السؤال الثامن
حدد عدد الجذور الحقيقية للمعادلة:
x² + 4x + 8 = 0
المميز:
4² - 4(1)(8)
= 16 - 32
= -16
بما أن المميز سالب، فلا توجد جذور حقيقية.
سؤال سريع باستخدام الملاحظة
إذا كانت:
x² - 10x + 25 = 0
فيمكن التعرف مباشرة على أنها:
(x - 5)² = 0
إذن:
x = 5
لا تحتاج إلى القانون العام.
المعادلات التربيعية في المسائل اللفظية
قد لا تأتي المعادلة في السؤال بصورة مباشرة. أحيانًا تحتاج إلى تحويل نص المسألة إلى معادلة.
مثلًا إذا كان حاصل ضرب عددين متتاليين يساوي 20، وكان العدد الأصغر x، فإن العدد التالي يكون x + 1.
إذن:
x(x + 1) = 20
نوسع:
x² + x - 20 = 0
ثم نحلل:
(x + 5)(x - 4) = 0
الحلول:
x = -5 أو x = 4.
إذا كان السؤال يتحدث عن عدد موجب، نختار القيمة التي تحقق الشرط وهي 4.
نصيحة مهمة في المسائل اللفظية
ليس كل حل رياضي يكون مناسبًا للسياق. بعد إيجاد الجذور، ارجع إلى شروط السؤال: هل المطلوب عدد موجب؟ طول؟ عمر؟ مساحة؟ عدد عناصر؟
قد تستبعد بعض الحلول لأنها لا تحقق الشرط المطلوب في المسألة.
التدريب على المعادلات التربيعية
ابدأ بالمعادلات التي يمكن تحليلها بسهولة، ثم انتقل إلى المعادلات التي تحتاج إلى عامل مشترك، وبعدها المعادلات ذات المعامل الأكبر من 1، ثم تدرب على القانون العام والمميز.
بعد ذلك طبّق المهارات في نماذج القسم الكمي وأسئلة الجبر في اختبارات باب9، وركز على اختيار طريقة الحل المناسبة بدل استخدام الطريقة نفسها في كل سؤال.
خطة تدريب لمدة أسبوع
اليوم الأول
راجع الصورة القياسية وحدد a وb وc في 20 معادلة.
اليوم الثاني
حل المعادلات التي تعتمد على العامل المشترك والفرق بين مربعين.
اليوم الثالث
تدرب على تحليل المعادلات التربيعية البسيطة.
اليوم الرابع
تدرب على المعادلات التي معامل x² فيها أكبر من 1.
اليوم الخامس
تدرب على القانون العام والمميز.
اليوم السادس
حل مسائل لفظية تحتاج إلى تكوين معادلة تربيعية.
اليوم السابع
حل اختبار مختلط بوقت محدد، ثم راجع الأسئلة التي استغرقت منك وقتًا طويلًا وابحث عن طريقة أقصر لها.
نصائح لرفع السرعة في اختبار القدرات
- تعلم التعرف على المعادلة القابلة للتحليل من شكلها.
- ابحث عن العامل المشترك قبل استخدام القانون العام.
- تذكر أن الفرق بين مربعين يعطي عاملين بإشارتين مختلفتين.
- إذا طلب السؤال مجموع الجذور، لا تحل المعادلة كاملة.
- إذا طلب حاصل ضرب الجذور، استخدم c/a مباشرة.
- انتبه إلى قيمة b وإشارتها.
- بعد إيجاد الحل، تحقق من توافقه مع شروط المسألة.
أسئلة شائعة عن المعادلات التربيعية
ما الصورة القياسية للمعادلة التربيعية؟
الصورة القياسية هي ax² + bx + c = 0، حيث a لا يساوي صفرًا.
ما أسرع طريقة لحل المعادلة التربيعية؟
يعتمد ذلك على شكل المعادلة. إذا كانت قابلة للتحليل بسهولة، يكون التحليل مناسبًا، وإذا لم يكن ذلك واضحًا يمكن استخدام القانون العام.
ما هو مميز المعادلة التربيعية؟
المميز هو b² - 4ac، ويحدد عدد الجذور الحقيقية وطبيعتها.
ماذا يعني أن المميز يساوي صفرًا؟
يعني أن للمعادلة جذرًا حقيقيًا مكررًا، أي أن الجذرين متساويان.
هل يجب أن يكون للمعادلة التربيعية حلان دائمًا؟
ليس بالضرورة حلان حقيقيان مختلفان. قد يكون لها جذران حقيقيان مختلفان، أو جذر حقيقي مكرر، أو لا يكون لها جذور حقيقية عندما يكون المميز سالبًا.
هل يمكن حل المعادلة التربيعية دون القانون العام؟
نعم، إذا كانت قابلة للتحليل أو يمكن حلها بطريقة أخرى مثل استخراج العامل المشترك أو إكمال المربع.
الخلاصة
المعادلات التربيعية من الموضوعات التي تجمع عدة مهارات جبرية مهمة. ابدأ بتحويل المعادلة إلى الصورة القياسية، ثم افحص العامل المشترك والتحليل والفرق بين مربعين قبل اللجوء إلى القانون العام.
احفظ العلاقات المهمة:
ax² + bx + c = 0
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
مجموع الجذور = -b/a
حاصل ضرب الجذور = c/a
كما يجب أن تعرف المميز:
Δ = b² - 4ac
إتقان هذه القواعد مع التدريب على اختيار الطريقة الأسرع سيجعل أسئلة المعادلات أكثر وضوحًا وأقل استهلاكًا للوقت.
بعد الانتهاء من هذا الموضوع، يمكنك الانتقال إلى الدوال التربيعية وتطبيق مهارات المعادلات والتحليل من خلال اختبارات القدرات والتدريبات الكمية.